Z变换

Z变换是离散信号处理的基础！理解Z变换，能帮助我们分析离散系统和数字信号。

什么是Z变换？

Z变换（Z Transform）是将离散序列从时域转换到Z域的积分变换。

简单理解

Z变换就像"离散信号的拉普拉斯变换"：

• 把离散序列转换到Z域
• 在Z域中，差分变成乘法
• 用于分析离散系统和数字信号

定义

离散序列 $x[n]$ 的Z变换：

$X(z) = \mathcal{Z}[x[n]] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$

其中：

• $x[n]$ 是离散序列
• $X(z)$ 是Z域函数
• $z$ 是复变量

单边Z变换

对于因果序列（$n < 0$ 时 $x[n] = 0$），单边Z变换：

$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}$

收敛域

Z变换存在的条件是级数收敛，即存在收敛域（Region of Convergence，ROC）。

Z变换的性质

线性性质

$\mathcal{Z}[ax[n] + by[n]] = aX(z) + bY(z)$

其中 $a, b$ 是常数。

时移性质

$\mathcal{Z}[x[n - k]] = z^{-k} X(z)$

（对于单边Z变换，需要考虑初始条件）

尺度变换

$\mathcal{Z}[a^n x[n]] = X\left(\frac{z}{a}\right)$

卷积定理

时域卷积对应Z域乘积：

$\mathcal{Z}[x[n] * y[n]] = X(z) Y(z)$

其中卷积定义为：

$x[n] * y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] y[n - k]$

差分性质

$\mathcal{Z}[x[n] - x[n-1]] = (1 - z^{-1}) X(z)$

求和性质

$\mathcal{Z}\left[\sum_{k=0}^{n} x[k]\right] = \frac{z}{z - 1} X(z)$

初值定理

$x[0] = \lim_{z \to \infty} X(z)$

终值定理

$\lim_{n \to \infty} x[n] = \lim_{z \to 1} (z - 1) X(z)$

（需要满足一定条件）

常见序列的Z变换

单位脉冲序列

1 & \text{如果 } n = 0 \\ 0 & \text{如果 } n \neq 0 \end{cases}$$ $$\mathcal{Z}[\delta[n]] = 1$$ ### 单位阶跃序列 $$u[n] = \begin{cases} 1 & \text{如果 } n \ge 0 \\ 0 & \text{如果 } n < 0 \end{cases}$$ $$\mathcal{Z}[u[n]] = \frac{z}{z - 1} \quad (|z| > 1)$$ ### 指数序列 $$\mathcal{Z}[a^n u[n]] = \frac{z}{z - a} \quad (|z| > |a|)$$ ### 正弦序列 $$\mathcal{Z}[\sin(\omega n) u[n]] = \frac{z \sin \omega}{z^2 - 2z \cos \omega + 1} \quad (|z| > 1)$$ ### 余弦序列 $$\mathcal{Z}[\cos(\omega n) u[n]] = \frac{z(z - \cos \omega)}{z^2 - 2z \cos \omega + 1} \quad (|z| > 1)$$ ### 幂序列 $$\mathcal{Z}[n u[n]] = \frac{z}{(z - 1)^2} \quad (|z| > 1)$$ $$\mathcal{Z}[n^2 u[n]] = \frac{z(z + 1)}{(z - 1)^3} \quad (|z| > 1)$$ ## Z变换的应用 ### 求解差分方程 Z变换是求解差分方程的重要方法： 1. 对差分方程两边取Z变换 2. 利用时移性质，把差分方程变成代数方程 3. 求解代数方程，得到 $X(z)$ 4. 对 $X(z)$ 取Z逆变换，得到 $x[n]$ **例子**：求解 $y[n] - 0.5y[n-1] = x[n]$，$y[-1] = 0$，$x[n] = u[n]$ - 取Z变换：$Y(z) - 0.5z^{-1}Y(z) = X(z)$ - 因为 $X(z) = \frac{z}{z - 1}$，所以：$Y(z)(1 - 0.5z^{-1}) = \frac{z}{z - 1}$ - 整理：$Y(z) = \frac{z^2}{(z - 1)(z - 0.5)}$ - 部分分式分解：$Y(z) = \frac{2z}{z - 1} - \frac{z}{z - 0.5}$ - 取逆变换：$y[n] = 2u[n] - (0.5)^n u[n] = [2 - (0.5)^n] u[n]$ ### 系统分析 - 📡 **系统函数**：计算离散系统的传递函数 - 🔍 **稳定性分析**：分析系统的稳定性 - 📊 **频率响应**：分析系统的频率响应 ### 数字信号处理 - 🔊 **滤波**：设计数字滤波器 - 📺 **信号分析**：分析数字信号 ## Z逆变换 ### 方法 1：部分分式分解 对于有理函数 $X(z)$，可以分解为部分分式，然后查表得到逆变换。 ### 方法 2：幂级数展开 将 $X(z)$ 展开为 $z^{-1}$ 的幂级数，系数就是 $x[n]$。 ### 方法 3：留数定理 使用复变函数中的留数定理计算逆变换。 ## 生活中的应用 ### 通信 - 📡 **数字通信**：处理数字信号 - 📻 **调制解调**：数字调制和解调 ### 音频处理 - 🎵 **数字音频**：处理数字音频信号 - 🔊 **音频滤波**：数字音频滤波 ### 图像处理 - 🖼️ **数字图像**：处理数字图像 - 🎨 **图像滤波**：数字图像滤波 ## 常见错误 ### 错误 1：收敛域忽略 要注意Z变换的收敛域。 ### 错误 2：初始条件使用错误 使用时移性质时，要正确使用初始条件。 ### 错误 3：单边和双边混淆 要区分单边Z变换和双边Z变换。 ## 小练习 1. 求 $x[n] = a^n u[n]$ 的Z变换 2. 求 $x[n] = n u[n]$ 的Z变换 3. 利用时移性质，求 $x[n-1]$ 的Z变换 4. 应用题：用Z变换求解差分方程 $y[n] - y[n-1] = x[n]$，$y[-1] = 0$，$x[n] = \delta[n]$ --- > 💡 **小贴士**：Z变换是将离散序列从时域转换到Z域的积分变换。记住：时域差分对应Z域乘法，时域卷积对应Z域乘积。掌握Z变换，你就能分析离散系统和数字信号！