体积和表面积

体积和表面积是立体几何的重要内容！掌握它们的计算方法，是学习立体几何的关键。

什么是体积和表面积？

• 体积（Volume）是立体图形所占空间的大小。
• 表面积（Surface Area）是立体图形所有面的面积和。

常见立体图形的体积公式

正方体

$$V = a^3$$

其中 $a$ 是棱长

长方体

$$V = abc$$

其中 $a, b, c$ 是长、宽、高

圆柱体

$$V = \pi r^2 h$$

其中 $r$ 是底面半径，$h$ 是高

圆锥体

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

其中 $r$ 是底面半径，$h$ 是高

球体

$$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$

其中 $r$ 是半径

棱柱

$$V = Sh$$

其中 $S$ 是底面积，$h$ 是高

棱锥

$$V = \frac{1}{3}Sh$$

其中 $S$ 是底面积，$h$ 是高

圆台

$$V = \frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2)$$

其中 $r_1, r_2$ 是上下底面半径，$h$ 是高

常见立体图形的表面积公式

正方体

$$S = 6a^2$$

其中 $a$ 是棱长

长方体

$$S = 2(ab + bc + ca)$$

其中 $a, b, c$ 是长、宽、高

圆柱体

$$S = 2\pi r(r + h)$$

其中 $r$ 是底面半径，$h$ 是高

圆锥体

$$S = \pi r(r + l)$$

其中 $r$ 是底面半径，$l$ 是母线长度

球体

$$S = 4\pi r^2$$

其中 $r$ 是半径

棱柱

$$S = 2S_{\text{底}} + S_{\text{侧}}$$

其中 $S_{\text{底}}$ 是底面积，$S_{\text{侧}}$ 是侧面积

棱锥

$$S = S_{\text{底}} + S_{\text{侧}}$$

其中 $S_{\text{底}}$ 是底面积，$S_{\text{侧}}$ 是侧面积

体积和表面积的关系

相似图形的体积比

如果两个相似图形的相似比是 $k$，则：

$$\frac{V_1}{V_2} = k^3$$

例子：

• 如果相似比 $k = 2$，则大图形的体积是小图形的 $2^3 = 8$ 倍
• 如果相似比 $k = 3$，则大图形的体积是小图形的 $3^3 = 27$ 倍

相似图形的表面积比

如果两个相似图形的相似比是 $k$，则：

$$\frac{S_1}{S_2} = k^2$$

例子：

• 如果相似比 $k = 2$，则大图形的表面积是小图形的 $2^2 = 4$ 倍
• 如果相似比 $k = 3$，则大图形的表面积是小图形的 $3^2 = 9$ 倍

组合体的体积和表面积

方法 1：分割法

把组合体分割成几个简单几何体，分别计算体积和表面积，然后相加。

注意：计算表面积时，要减去重叠部分的面积。

方法 2：补全法

把组合体补全成简单几何体，计算体积和表面积，然后减去多余部分的体积和表面积。

例子

例子 1：一个圆柱体上放一个圆锥体

• 体积：$V = V_{\text{圆柱}} + V_{\text{圆锥}} = \pi r^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi r^2 h_2$
• 表面积：$S = S_{\text{圆柱侧}} + S_{\text{圆锥侧}} + S_{\text{圆柱下底}} = 2\pi rh_1 + \pi rl + \pi r^2$

例子 2：一个正方体挖去一个球体

• 体积：$V = V_{\text{正方体}} - V_{\text{球}} = a^3 - \frac{4}{3}\pi r^3$
• 表面积：$S = S_{\text{正方体}} - S_{\text{球被挖部分}} + S_{\text{球内表面}}$

体积单位换算

常用单位

• 立方毫米（mm³）
• 立方厘米（cm³）
• 立方分米（dm³）
• 立方米（m³）

换算关系

$1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3 = 1000000 \text{ cm}^3 = 1000000000 \text{ mm}^3$

$1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$

$1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3$

生活中的应用

建筑

• 🏗️ 计算材料：计算建筑材料的体积和表面积
• 🏛️ 设计：设计时计算体积和表面积

包装

• 📦 包装设计：计算包装盒的体积和表面积
• 📦 材料用量：计算包装材料的用量

工程

• ⚙️ 工程计算：计算工程中的体积和表面积
• 🔧 材料计算：计算材料的用量

常见错误

错误 1：体积和表面积混淆

• 体积：图形所占空间的大小（立方单位）
• 表面积：图形所有面的面积和（平方单位）

错误 2：单位错误

• 体积单位是立方单位（cm³, m³ 等）
• 表面积单位是平方单位（cm², m² 等）

错误 3：公式使用错误

不同几何体有不同的公式，要选择正确的公式。

错误 4：组合体计算错误

计算组合体时，要注意不要重复计算或遗漏部分。

小练习

1. 如果正方体的棱长是 8 cm，求体积和表面积
2. 如果圆柱体的半径是 5 cm，高是 10 cm，求体积和表面积
3. 如果球体的半径是 6 cm，求体积和表面积
4. 应用题：一个长方体水箱长 2 米，宽 1.5 米，高 1 米，求能装多少升水？需要多少平方米的材料？（1 立方米 = 1000 升）

---

💡 小贴士：体积和表面积是立体几何的重要内容。记住：体积是空间大小（立方单位），表面积是所有面的面积和（平方单位）。相似图形的体积比 = 相似比的立方，表面积比 = 相似比的平方！