向量

向量是线性代数的基础！理解向量，是学习线性代数的第一步。

什么是向量？

向量（Vector）是既有大小又有方向的量。

简单理解

向量就像"带方向的箭头"：

• 有起点和终点
• 有长度（大小）
• 有方向

表示方法

向量可以用：

• 有向线段：$\overrightarrow{AB}$（从 $A$ 到 $B$）
• 坐标表示：$\vec{v} = (x, y)$ 或 $\vec{v} = (x, y, z)$
• 单位向量：$\vec{i} = (1, 0)$，$\vec{j} = (0, 1)$（二维）

向量的表示

坐标表示

在二维空间中，向量 $\vec{v}$ 可以表示为：

$$\vec{v} = (x, y)$$

在三维空间中，向量 $\vec{v}$ 可以表示为：

$$\vec{v} = (x, y, z)$$

列向量表示

向量也可以用列向量的形式表示：

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \quad \text{或} \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$$

向量的模长

定义

向量的模长（Magnitude）是向量的长度，记作 $|\vec{v}|$。

公式

二维向量：

$$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

三维向量：

$$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

例子

例子 1：向量 $\vec{v} = (3, 4)$

$$|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

例子 2：向量 $\vec{v} = (1, 2, 2)$

$$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$$

单位向量

定义

单位向量是模长为 1 的向量。

求法

如果 $\vec{v} \neq \vec{0}$，则单位向量：

$$\vec{e} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$$

例子

例子：向量 $\vec{v} = (3, 4)$

• 模长 $|\vec{v}| = 5$
• 单位向量 $\vec{e} = \frac{(3, 4)}{5} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$

向量的运算

加法

如果 $\vec{u} = (x_1, y_1)$，$\vec{v} = (x_2, y_2)$，则：

$$\vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$$

几何意义：向量加法的平行四边形法则或三角形法则

减法

如果 $\vec{u} = (x_1, y_1)$，$\vec{v} = (x_2, y_2)$，则：

$$\vec{u} - \vec{v} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$$

数乘

如果 $\vec{v} = (x, y)$，$k$ 是实数，则：

$$k\vec{v} = (kx, ky)$$

几何意义：

• 如果 $k > 0$，方向不变，长度变为原来的 $k$ 倍
• 如果 $k < 0$，方向相反，长度变为原来的 $|k|$ 倍

点积（数量积）

如果 $\vec{u} = (x_1, y_1)$，$\vec{v} = (x_2, y_2)$，则：

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2$$

几何意义：

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$$

其中 $\theta$ 是两向量的夹角

性质：

• 如果 $\vec{u} \perp \vec{v}$，则 $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
• 如果 $\vec{u} \parallel \vec{v}$，则 $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|$（同向）或 $-|\vec{u}||\vec{v}|$（反向）

叉积（向量积，仅三维）

如果 $\vec{u} = (x_1, y_1, z_1)$，$\vec{v} = (x_2, y_2, z_2)$，则：

$$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = (y_1z_2 - z_1y_2, z_1x_2 - x_1z_2, x_1y_2 - y_1x_2)$$

几何意义：

• 结果是一个向量，垂直于 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 所在的平面
• 方向由右手法则确定
• 模长 $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta$（$\theta$ 是两向量的夹角）

向量的性质

交换律

$$\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$$

结合律

$$(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$$

分配律

$$k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$$ $$(k + l)\vec{v} = k\vec{v} + l\vec{v}$$

生活中的应用

物理

• ⚡ 力：力是向量
• 🚀 速度：速度是向量
• 📐 加速度：加速度是向量

计算机图形学

• 💻 3D 图形：用向量表示 3D 图形
• 🎮 游戏开发：用向量进行游戏开发

工程

• 🏗️ 工程计算：用向量进行工程计算
• ⚙️ 机械设计：用向量进行机械设计

常见错误

错误 1：向量和标量混淆

• 向量：有大小和方向
• 标量：只有大小，没有方向

错误 2：点积和叉积混淆

• 点积：结果是标量
• 叉积：结果是向量（仅三维）

错误 3：模长计算错误

模长公式是 $\sqrt{x^2 + y^2}$（二维）或 $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$（三维），不要忘记开平方。

小练习

1. 如果向量 $\vec{u} = (1, 2)$，$\vec{v} = (3, 4)$，求 $\vec{u} + \vec{v}$ 和 $\vec{u} - \vec{v}$
2. 如果向量 $\vec{v} = (3, 4)$，求 $|\vec{v}|$ 和单位向量
3. 如果向量 $\vec{u} = (1, 0)$，$\vec{v} = (0, 1)$，求 $\vec{u} \cdot \vec{v}$
4. 应用题：用向量计算两点 $A(1, 2)$ 和 $B(4, 5)$ 之间的距离

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💡 小贴士：向量是线性代数的基础。记住：向量有大小和方向，点积结果是标量，叉积结果是向量。掌握向量的运算，你就能解决很多线性代数问题！