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三角恒等式

三角恒等式是三角函数之间的重要关系！掌握这些恒等式，能帮助我们简化和解决三角函数问题。

什么是三角恒等式？​

三角恒等式（Trigonometric Identities）是对于所有角度都成立的三角函数等式。

简单理解​

三角恒等式就像"三角函数的规律"：

  • 无论角度是多少，这些关系都成立
  • 用这些关系可以简化计算
  • 用这些关系可以证明其他等式

基本恒等式​

平方和恒等式​

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

推导：在单位圆中，x2+y2=1x^2 + y^2 = 1，而 x=cos⁡θx = \cos\theta，y=sin⁡θy = \sin\theta，所以 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1。

变形：

  • sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta
  • cos⁡2θ=1−sin⁡2θ\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta

商数恒等式​

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\tan\theta}

倒数恒等式​

sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

和角公式​

正弦和角公式​

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta

余弦和角公式​

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta

正切和角公式​

tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}

倍角公式​

正弦倍角公式​

sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta

推导：在正弦和角公式中，令 α=β=θ\alpha = \beta = \theta，则：

sin⁡(2θ)=sin⁡(θ+θ)=sin⁡θcos⁡θ+cos⁡θsin⁡θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = \sin(\theta + \theta) = \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta = 2\sin\theta\cos\theta

余弦倍角公式​

cos⁡(2θ)=cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1=1−2sin⁡2θ\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta

推导：在余弦和角公式中，令 α=β=θ\alpha = \beta = \theta，则：

cos⁡(2θ)=cos⁡(θ+θ)=cos⁡θcos⁡θ−sin⁡θsin⁡θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos(2\theta) = \cos(\theta + \theta) = \cos\theta\cos\theta - \sin\theta\sin\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta

利用 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1，可以得到其他形式。

正切倍角公式​

tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}

半角公式​

正弦半角公式​

sin⁡(θ2)=±1−cos⁡θ2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}

符号取决于 θ2\frac{\theta}{2} 所在的象限。

余弦半角公式​

cos⁡(θ2)=±1+cos⁡θ2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}

符号取决于 θ2\frac{\theta}{2} 所在的象限。

正切半角公式​

tan⁡(θ2)=sin⁡θ1+cos⁡θ=1−cos⁡θsin⁡θ\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}

积化和差公式​

正弦积化和差​

sin⁡αsin⁡β=12[cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)]\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)]\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)] sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]

和差化积公式​

正弦和差化积​

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡(α+β2)cos⁡(α−β2)\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡(α+β2)sin⁡(α−β2)\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)

余弦和差化积​

cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡(α+β2)cos⁡(α−β2)\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡(α+β2)sin⁡(α−β2)\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)

辅助角公式​

形式​

asin⁡θ+bcos⁡θ=a2+b2sin⁡(θ+ϕ)a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \phi)

其中 ϕ=arctan⁡(ba)\phi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)。

应用​

简化计算​

使用三角恒等式可以简化复杂的三角函数表达式。

例子：化简 sin⁡2θ+cos⁡2θ\sin^2\theta + \cos^2\theta

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

证明等式​

使用三角恒等式可以证明其他等式。

例子：证明 sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta

使用倍角公式即可证明。

解方程​

使用三角恒等式可以解三角函数方程。

小练习​

  1. 验证：sin⁡230°+cos⁡230°=1\sin^2 30° + \cos^2 30° = 1
  2. 使用和角公式计算：sin⁡(45°+30°)\sin(45° + 30°)
  3. 使用倍角公式计算：cos⁡(2×30°)\cos(2 \times 30°)
  4. 化简：sin⁡θcos⁡θ+cos⁡θsin⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

💡 小贴士：三角恒等式是三角函数之间的重要关系。记住：sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1，sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta。掌握这些恒等式，你就能简化和解决很多三角函数问题！