三角形

三角形是最简单的多边形，也是最重要的几何图形之一！从建筑结构到艺术设计，三角形无处不在。

什么是三角形？

三角形（Triangle）是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。

简单理解

三角形就像"三个点连成的图形"：

• 有三个顶点（角）
• 有三条边
• 有三个内角
• 是最简单的多边形

三角形的组成部分

• 顶点（Vertex）：三条边的交点，通常用大写字母 $A, B, C$ 表示
• 边（Side）：连接顶点的线段，通常用小写字母 $a, b, c$ 表示（$a$ 对顶点 $A$，$b$ 对顶点 $B$，$c$ 对顶点 $C$）
• 角（Angle）：两条边之间的夹角，通常用 $\angle A, \angle B, \angle C$ 表示

三角形的性质

性质 1：内角和

三角形的内角和等于 $180°$。

$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$

例子：

• 如果 $\angle A = 60°$，$\angle B = 70°$
• 那么 $\angle C = 180° - 60° - 70° = 50°$

性质 2：两边之和大于第三边

三角形任意两边之和大于第三边。

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad c + a > b$

例子：

• 如果 $a = 3$, $b = 4$, $c = 5$
• 检查：$3 + 4 = 7 > 5$ ✓，$4 + 5 = 9 > 3$ ✓，$5 + 3 = 8 > 4$ ✓
• 所以可以组成三角形

性质 3：两边之差小于第三边

三角形任意两边之差小于第三边。

$|a - b| < c, \quad |b - c| < a, \quad |c - a| < b$

三角形的分类

按边分类

等边三角形

等边三角形（Equilateral Triangle）是三条边都相等的三角形。

性质：

• 三条边都相等：$a = b = c$
• 三个角都相等：$\angle A = \angle B = \angle C = 60°$
• 有 3 条对称轴

等腰三角形

等腰三角形（Isosceles Triangle）是两条边相等的三角形。

性质：

• 两条边相等：$a = b$（假设）
• 两个底角相等：$\angle A = \angle B$
• 有 1 条对称轴（顶角的角平分线）
• 顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合（三线合一）

不等边三角形

不等边三角形（Scalene Triangle）是三条边都不相等的三角形。

性质：

• 三条边都不相等
• 三个角都不相等

按角分类

锐角三角形

锐角三角形（Acute Triangle）是三个角都是锐角的三角形。

性质：

• 所有角都小于 $90°$
• $0° < \angle A, \angle B, \angle C < 90°$

直角三角形

直角三角形（Right Triangle）是有一个角是直角的三角形。

性质：

• 有一个角等于 $90°$
• 直角所对的边叫做斜边（最长）
• 另外两条边叫做直角边
• 满足勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$（$c$ 是斜边）
• 两个锐角互余：$\angle A + \angle B = 90°$

钝角三角形

钝角三角形（Obtuse Triangle）是有一个角是钝角的三角形。

性质：

• 有一个角大于 $90°$
• $90° < \angle A < 180°$（假设 $\angle A$ 是钝角）

三角形的特殊线段

中线

中线（Median）是连接顶点和对边中点的线段。

性质：

• 三条中线交于一点，叫做重心（Centroid）
• 重心把每条中线分成 $2:1$ 的两段（从顶点到重心是 $2$ 份，从重心到对边中点是 $1$ 份）

高

高（Altitude）是从顶点向对边（或延长线）作的垂线段。

性质：

• 三条高（或延长线）交于一点，叫做垂心（Orthocenter）
• 锐角三角形的垂心在三角形内部
• 直角三角形的垂心是直角顶点
• 钝角三角形的垂心在三角形外部

角平分线

角平分线（Angle Bisector）是把角分成两个相等角的射线。

性质：

• 三条角平分线交于一点，叫做内心（Incenter）
• 内心到三边的距离相等（是内切圆的圆心）

垂直平分线

垂直平分线（Perpendicular Bisector）是垂直于边且平分边的直线。

性质：

• 三条垂直平分线交于一点，叫做外心（Circumcenter）
• 外心到三个顶点的距离相等（是外接圆的圆心）

三角形的全等

什么是全等？

全等（Congruent）是两个图形完全重合，形状和大小都相同。

表示：$\triangle ABC \cong \triangle DEF$

全等判定

判定 1：SSS（边边边）

如果两个三角形的三条边对应相等，则两个三角形全等。

例子：

• $\triangle ABC$：$AB = 3$, $BC = 4$, $CA = 5$
• $\triangle DEF$：$DE = 3$, $EF = 4$, $FD = 5$
• 因为三边对应相等，所以 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$

判定 2：SAS（边角边）

如果两个三角形的两条边和它们的夹角对应相等，则两个三角形全等。

例子：

• $\triangle ABC$：$AB = 3$, $\angle A = 60°$, $AC = 4$
• $\triangle DEF$：$DE = 3$, $\angle D = 60°$, $DF = 4$
• 因为两边和夹角对应相等，所以 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$

判定 3：ASA（角边角）

如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等，则两个三角形全等。

例子：

• $\triangle ABC$：$\angle A = 60°$, $AB = 3$, $\angle B = 70°$
• $\triangle DEF$：$\angle D = 60°$, $DE = 3$, $\angle E = 70°$
• 因为两角和夹边对应相等，所以 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$

判定 4：AAS（角角边）

如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边对应相等，则两个三角形全等。

注意：AAS 可以转化为 ASA（因为三角形内角和是 $180°$）。

三角形的相似

什么是相似？

相似（Similar）是两个图形形状相同，但大小可能不同。

表示：$\triangle ABC \sim \triangle DEF$

相似判定

判定 1：AAA（角角角）

如果两个三角形的三个角对应相等，则两个三角形相似。

注意：因为三角形内角和是 $180°$，所以只要两个角对应相等，第三个角也必然相等。

判定 2：AA（角角）

如果两个三角形的两个角对应相等，则两个三角形相似。

例子：

• $\triangle ABC$：$\angle A = 60°$, $\angle B = 70°$
• $\triangle DEF$：$\angle D = 60°$, $\angle E = 70°$
• 因为两个角对应相等，所以 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$

判定 3：SAS（边角边）

如果两个三角形的两条边对应成比例，且它们的夹角相等，则两个三角形相似。

例子：

• $\triangle ABC$：$AB = 3$, $\angle A = 60°$, $AC = 4$
• $\triangle DEF$：$DE = 6$, $\angle D = 60°$, $DF = 8$
• 因为 $\frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC} = 2$，且 $\angle A = \angle D$，所以 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$

判定 4：SSS（边边边）

如果两个三角形的三条边对应成比例，则两个三角形相似。

例子：

• $\triangle ABC$：$AB = 3$, $BC = 4$, $CA = 5$
• $\triangle DEF$：$DE = 6$, $EF = 8$, $FD = 10$
• 因为 $\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{FD}{CA} = 2$，所以 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$

相似的性质

如果 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$，则：

• 对应边成比例：$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = k$（$k$ 是相似比）
• 对应角相等：$\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$
• 对应高、中线、角平分线成比例：比例都是 $k$

三角形的周长

公式

$P = a + b + c$

其中：

• $P$：周长
• $a, b, c$：三条边的长度

例子：

• 如果 $a = 3$ cm，$b = 4$ cm，$c = 5$ cm
• 周长 $P = 3 + 4 + 5 = 12$ cm

三角形的面积

公式 1：底乘高除以 2

$S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2}bh$

其中：

• $S$：面积
• $b$：底边长
• $h$：对应的高

例子：

• 底 $b = 6$ cm，高 $h = 4$ cm
• 面积 $S = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ cm²

公式 2：海伦公式

如果知道三条边的长度，可以用海伦公式：

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

其中：

• $s = \frac{a + b + c}{2}$（半周长）

例子：

• $a = 3$, $b = 4$, $c = 5$
• $s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$
• $S = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$

公式 3：两边及夹角

$S = \frac{1}{2}ab\sin C$

其中 $a, b$ 是两边，$C$ 是它们的夹角

生活中的应用

建筑

• 🏗️ 结构设计：三角形结构很稳定
• 🏛️ 建筑设计：许多建筑使用三角形元素

测量

• 📐 测量高度：用相似三角形测量高度
• 🗻 测量距离：用全等三角形测量距离

常见错误

错误 1：全等和相似混淆

• 全等：形状和大小都相同
• 相似：形状相同，大小可能不同

错误 2：判定条件不充分

要满足完整的判定条件（如 SAS 需要两边和夹角都对应相等）。

错误 3：相似比使用错误

相似比是对应边的比，不是任意两边的比。

小练习

1. 如果 $\triangle ABC$ 的三边分别是 3, 4, 5，$\triangle DEF$ 的三边分别是 6, 8, 10，判断它们是否相似
2. 如果 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$，相似比是 2，且 $AB = 5$，求 $DE$
3. 用海伦公式求三边为 5, 6, 7 的三角形的面积
4. 应用题：用相似三角形测量树的高度

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💡 小贴士：三角形是几何的基础。记住：全等是"完全相同"，相似是"形状相同"。掌握全等和相似的判定条件，你就能解决很多几何问题！