全概率公式

全概率公式是概率论的重要公式！掌握全概率公式，能帮助我们计算复杂事件的概率。

什么是全概率公式？

全概率公式（Total Probability Formula）是将一个复杂事件分解为多个简单事件，然后计算概率的公式。

简单理解

全概率公式就像"分情况讨论"：

• 把事件 $A$ 分解为多个互不相容的情况
• 分别计算每种情况下 $A$ 发生的概率
• 把所有情况的概率加起来

全概率公式

公式

如果事件 $B_1, B_2, \ldots, B_n$ 构成样本空间的一个划分（即 $B_1 \cup B_2 \cup \cdots \cup B_n = \Omega$，且 $B_i \cap B_j = \emptyset$，$i \neq j$），且 $P(B_i) > 0$，则对于任意事件 $A$：

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \times P(A|B_i)$

推导

因为 $B_1, B_2, \ldots, B_n$ 构成样本空间的划分，所以：

$A = A \cap \Omega = A \cap (B_1 \cup B_2 \cup \cdots \cup B_n) = (A \cap B_1) \cup (A \cap B_2) \cup \cdots \cup (A \cap B_n)$

因为 $B_i \cap B_j = \emptyset$，所以 $(A \cap B_i) \cap (A \cap B_j) = \emptyset$（$i \neq j$），即 $A \cap B_1, A \cap B_2, \ldots, A \cap B_n$ 互不相容。

所以：

$P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + \cdots + P(A \cap B_n)$

根据乘法公式 $P(A \cap B_i) = P(B_i) \times P(A|B_i)$，得到：

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \times P(A|B_i)$

特殊情况：两个事件

如果样本空间被划分为两个事件 $B$ 和 $\bar{B}$，则：

$P(A) = P(B) \times P(A|B) + P(\bar{B}) \times P(A|\bar{B})$

例子

例子：一个工厂有两个车间生产产品

• 车间 1 生产 $60\%$ 的产品，次品率 $2\%$
• 车间 2 生产 $40\%$ 的产品，次品率 $3\%$

求随机抽取一个产品是次品的概率。

解：

• 事件 $A$：产品是次品
• 事件 $B_1$：产品来自车间 1，$P(B_1) = 0.6$
• 事件 $B_2$：产品来自车间 2，$P(B_2) = 0.4$
• $P(A|B_1) = 0.02$（车间 1 的次品率）
• $P(A|B_2) = 0.03$（车间 2 的次品率）

$P(A) = P(B_1) \times P(A|B_1) + P(B_2) \times P(A|B_2)$

$= 0.6 \times 0.02 + 0.4 \times 0.03 = 0.012 + 0.012 = 0.024$

所以随机抽取一个产品是次品的概率是 $2.4\%$。

全概率公式的应用

应用 1：多阶段问题

全概率公式特别适用于多阶段问题。

例子：从两个袋子中选球

• 袋子 1：3 个红球，2 个蓝球
• 袋子 2：2 个红球，4 个蓝球
• 随机选择一个袋子，然后从该袋子中随机抽取一个球

求抽到红球的概率。

解：

• 事件 $A$：抽到红球
• 事件 $B_1$：选择袋子 1，$P(B_1) = \frac{1}{2}$
• 事件 $B_2$：选择袋子 2，$P(B_2) = \frac{1}{2}$
• $P(A|B_1) = \frac{3}{5}$（袋子 1 中红球的概率）
• $P(A|B_2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$（袋子 2 中红球的概率）

$P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{10} + \frac{1}{6} = \frac{9 + 5}{30} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}$

应用 2：医学诊断

例子：某种疾病的诊断

• 人群中患病率是 $1\%$
• 如果患病，检测呈阳性的概率是 $95\%$
• 如果不患病，检测呈阳性的概率是 $5\%$

求随机一个人检测呈阳性的概率。

解：

• 事件 $A$：检测呈阳性
• 事件 $B_1$：患病，$P(B_1) = 0.01$
• 事件 $B_2$：不患病，$P(B_2) = 0.99$
• $P(A|B_1) = 0.95$（患病时检测呈阳性）
• $P(A|B_2) = 0.05$（不患病时检测呈阳性）

$P(A) = 0.01 \times 0.95 + 0.99 \times 0.05 = 0.0095 + 0.0495 = 0.059$

所以随机一个人检测呈阳性的概率是 $5.9\%$。

生活中的应用

医学

• 🏥 疾病诊断：计算检测呈阳性的概率
• 💊 药物效果：计算药物有效的概率

质量控制

• 🏭 产品质量：计算产品不合格的概率
• 📐 工程管理：计算工程失败的概率

市场

• 📊 市场分析：分析市场成功的概率
• 💰 投资决策：分析投资获利的概率

常见错误

错误 1：划分不完整

要确保 $B_1, B_2, \ldots, B_n$ 构成样本空间的完整划分。

错误 2：条件概率错误

要正确计算条件概率 $P(A|B_i)$。

错误 3：公式使用错误

要正确使用全概率公式，注意求和。

小练习

1. 一个工厂有两个车间，车间 1 生产 $70\%$ 的产品，次品率 $1\%$；车间 2 生产 $30\%$ 的产品，次品率 $2\%$。求随机抽取一个产品是次品的概率
2. 从两个袋子中选球，袋子 1 有 4 个红球和 1 个蓝球，袋子 2 有 2 个红球和 3 个蓝球。随机选择一个袋子，然后从该袋子中随机抽取一个球，求抽到红球的概率
3. 某种疾病的患病率是 $2\%$，如果患病，检测呈阳性的概率是 $98\%$；如果不患病，检测呈阳性的概率是 $3\%$。求随机一个人检测呈阳性的概率
4. 应用题：一个商店从三个供应商进货，供应商 1 提供 $50\%$ 的货物，次品率 $1\%$；供应商 2 提供 $30\%$ 的货物，次品率 $2\%$；供应商 3 提供 $20\%$ 的货物，次品率 $3\%$。求随机抽取一个货物是次品的概率

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💡 小贴士：全概率公式是将复杂事件分解为多个简单事件的公式。记住：$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \times P(A|B_i)$，其中 $B_1, B_2, \ldots, B_n$ 构成样本空间的划分。掌握全概率公式，你就能计算复杂事件的概率！