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二元二次方程组

二元二次方程组是更复杂的方程组，其中一个或两个方程含有二次项。解法更加灵活多样！

什么是二元二次方程组？​

二元二次方程组是含有两个未知数，且至少有一个方程是二次方程的方程组。

常见形式​

类型 1：一个一次方程 + 一个二次方程​

{
  x + y = 5      （一次方程）
  x² + y² = 13   （二次方程）
}

类型 2：两个都是二次方程​

{
  x² + y² = 25
  x² - y² = 7
}

解二元二次方程组的方法​

方法 1：代入法（最常用）​

从一个方程中解出一个未知数，代入另一个方程。

适用情况​

当一个方程是一次方程，或可以容易地解出一个未知数时。

例子 1：一次方程 + 二次方程​

{
  x + y = 5      ...(1)
  x² + y² = 13   ...(2)
}

步骤：

  1. 从方程 (1) 解出 y：y = 5 - x
  2. 代入方程 (2)：x² + (5 - x)² = 13
  3. 展开：x² + 25 - 10x + x² = 13
  4. 化简：2x² - 10x + 12 = 0
  5. 除以 2：x² - 5x + 6 = 0
  6. 因式分解：(x - 2)(x - 3) = 0
  7. 所以 x = 2 或 x = 3
  8. 当 x = 2 时，y = 5 - 2 = 3
  9. 当 x = 3 时，y = 5 - 3 = 2
  10. 检验：
    • x = 2, y = 3：2 + 3 = 5 ✓，2² + 3² = 4 + 9 = 13 ✓
    • x = 3, y = 2：3 + 2 = 5 ✓，3² + 2² = 9 + 4 = 13 ✓

所以解是：x = 2, y = 3 或 x = 3, y = 2

例子 2：两个二次方程​

{
  x² + y² = 25   ...(1)
  x² - y² = 7    ...(2)
}

步骤：

  1. 方程 (1) + 方程 (2)：2x² = 32
  2. 所以 x² = 16，x = ±4
  3. 方程 (1) - 方程 (2)：2y² = 18
  4. 所以 y² = 9，y = ±3
  5. 检验所有组合：
    • x = 4, y = 3：4² + 3² = 16 + 9 = 25 ✓，4² - 3² = 16 - 9 = 7 ✓
    • x = 4, y = -3：4² + (-3)² = 16 + 9 = 25 ✓，4² - (-3)² = 16 - 9 = 7 ✓
    • x = -4, y = 3：(-4)² + 3² = 16 + 9 = 25 ✓，(-4)² - 3² = 16 - 9 = 7 ✓
    • x = -4, y = -3：(-4)² + (-3)² = 16 + 9 = 25 ✓，(-4)² - (-3)² = 16 - 9 = 7 ✓

所以解是：

  • x = 4, y = 3
  • x = 4, y = -3
  • x = -4, y = 3
  • x = -4, y = -3

方法 2：加减消元法​

通过加减两个方程，消去某些项。

适用情况​

当两个方程相加（或相减）可以消去二次项或简化方程时。

例子​

{
  x² + y² = 25   ...(1)
  x² - y² = 7    ...(2)
}
  • 方程 (1) + 方程 (2)：消去 y²，得到 x²
  • 方程 (1) - 方程 (2)：消去 x²，得到 y²

方法 3：因式分解法​

如果方程可以因式分解，利用因式分解求解。

例子​

{
  x² - y² = 0    （可以因式分解为 (x+y)(x-y) = 0）
  x + y = 5
}

步骤：

  1. 从 x² - y² = 0 得到：(x + y)(x - y) = 0
  2. 所以 x + y = 0 或 x - y = 0
  3. 结合 x + y = 5：
    • 如果 x + y = 0 且 x + y = 5，矛盾，无解
    • 如果 x - y = 0 且 x + y = 5：
      • 所以 x = y 且 x + y = 5
      • 所以 2x = 5，x = 2.5，y = 2.5

方程组的解的个数​

二元二次方程组可能有：

  • 0 个解（无解）
  • 1 个解
  • 2 个解
  • 4 个解（最常见）
  • 更多解

生活中的应用​

几何问题​

  • 📐 矩形的长和宽
    • 长 + 宽 = 10（周长的一半）
    • 长² + 宽² = 68（对角线的平方，根据勾股定理）
    • 方程组： 
      {
        x + y = 10
        x² + y² = 68
      }

物理问题​

  • ⚽ 抛体运动
    • 水平距离和垂直高度的关系
    • 可以建立二元二次方程组

常见错误​

错误 1：忘记检验所有解​

二元二次方程组通常有多个解，要全部检验。

错误 2：代入时展开错误​

代入时要仔细展开，注意符号。

错误 3：忽略负解​

开平方时要注意 ±，不要漏掉负解。

小练习​

  1. 解方程组：

    {
      x + y = 7
      x² + y² = 25
    }

  2. 解方程组：

    {
      x² + y² = 10
      x² - y² = 6
    }

  3. 应用题：两个数的和是 8，平方和是 34，求这两个数

💡 小贴士：二元二次方程组通常有多个解，要仔细计算并全部检验。代入法是最常用的方法，特别是一个方程是一次方程时！