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二元一次方程组

当一个问题涉及两个未知数时，我们需要两个方程才能求解。这就是二元一次方程组！

什么是二元一次方程组？​

二元一次方程组是由两个含有两个未知数的一次方程组成的方程组。

一般形式：

{
  a₁x + b₁y = c₁
  a₂x + b₂y = c₂
}

其中 x 和 y 是未知数，a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂ 是已知数。

例子：

{
  x + y = 10
  x - y = 2
}

方程组的解​

方程组的解是同时满足两个方程的 x 和 y 的值。

验证解​

把 x 和 y 的值分别代入两个方程，看是否都成立：

例子：方程组

{
  x + y = 10
  x - y = 2
}

如果 x = 6, y = 4：

  • 第一个方程：6 + 4 = 10 ✓
  • 第二个方程：6 - 4 = 2 ✓
  • 所以 x = 6, y = 4 是方程组的解

解方程组的方法​

方法 1：代入消元法​

从一个方程中解出一个未知数，代入另一个方程。

步骤​

  1. 从其中一个方程解出一个未知数（如 y）
  2. 把这个表达式代入另一个方程
  3. 解出另一个未知数（x）
  4. 把 x 的值代回，求出 y

例子​

{
  x + y = 10  ...(1)
  x - y = 2   ...(2)
}

步骤：

  1. 从方程 (1) 解出 y：y = 10 - x
  2. 代入方程 (2)：x - (10 - x) = 2
  3. 化简：x - 10 + x = 2
  4. 合并：2x = 12
  5. 求解：x = 6
  6. 代回：y = 10 - 6 = 4
  7. 所以解是：x = 6, y = 4

方法 2：加减消元法​

通过加减两个方程，消去一个未知数。

步骤​

  1. 调整系数，使某个未知数的系数相同（或相反）
  2. 两个方程相加（或相减），消去这个未知数
  3. 解出另一个未知数
  4. 代回求出另一个未知数

例子 1：直接相加​

{
  x + y = 10  ...(1)
  x - y = 2   ...(2)
}

步骤：

  1. 两个方程相加：(x + y) + (x - y) = 10 + 2
  2. 化简：2x = 12
  3. 求解：x = 6
  4. 代入方程 (1)：6 + y = 10
  5. 求解：y = 4
  6. 所以解是：x = 6, y = 4

例子 2：需要调整系数​

{
  2x + 3y = 11  ...(1)
  x + y = 5     ...(2)
}

步骤：

  1. 把方程 (2) 乘以 2：2x + 2y = 10 ...(3)
  2. 方程 (1) 减去方程 (3)：(2x + 3y) - (2x + 2y) = 11 - 10
  3. 化简：y = 1
  4. 代入方程 (2)：x + 1 = 5
  5. 求解：x = 4
  6. 所以解是：x = 4, y = 1

方法 3：图像法（几何意义）​

每个方程表示一条直线，方程组的解就是两条直线的交点。

步骤​

  1. 把每个方程化成 y = mx + b 的形式
  2. 在坐标系中画出两条直线
  3. 找到交点坐标

例子：

{
  x + y = 10  →  y = -x + 10
  x - y = 2   →  y = x - 2
}

两条直线的交点就是方程组的解。

方法选择建议​

情况推荐方法原因
一个方程中某个未知数系数为 1代入消元法计算简单
两个方程中某个未知数系数相同或相反加减消元法直接消元
需要直观理解图像法几何直观

方程组的解的个数​

唯一解​

两条直线相交于一点：

{
  x + y = 10
  x - y = 2
}

解：x = 6, y = 4（唯一解）

无数个解​

两条直线重合：

{
  x + y = 10
  2x + 2y = 20
}

两个方程实际上是同一个方程，所以有无数个解。

无解​

两条直线平行（不相交）：

{
  x + y = 10
  x + y = 5
}

不可能同时满足，所以无解。

生活中的应用​

购物问题​

  • 🛒 一个苹果 x 元，一个香蕉 y 元
    • 买 3 个苹果和 2 个香蕉花了 19 元
    • 买 2 个苹果和 3 个香蕉花了 16 元
    • 方程组： 
      {
        3x + 2y = 19
        2x + 3y = 16
      }
    • 解：x = 5, y = 2（苹果 5 元，香蕉 2 元）

年龄问题​

  • 👶 小明今年 x 岁，小红今年 y 岁
    • 两人年龄和是 20 岁
    • 小明比小红大 4 岁
    • 方程组： 
      {
        x + y = 20
        x - y = 4
      }
    • 解：x = 12, y = 8（小明 12 岁，小红 8 岁）

速度问题​

  • 🚗 顺流速度 x 公里/小时，逆流速度 y 公里/小时
    • 船速 + 水速 = 顺流速度
    • 船速 - 水速 = 逆流速度
    • 如果顺流速度是 15，逆流速度是 9
    • 方程组： 
      {
        船速 + 水速 = 15
        船速 - 水速 = 9
      }
    • 解：船速 = 12，水速 = 3

常见错误​

错误 1：代入时忘记加括号​

❌ 错误：x - 10 - x = 2
✅ 正确：x - (10 - x) = 2

错误 2：加减消元时符号错误​

❌ 错误：(x + y) - (x - y) = 10 - 2，所以 2y = 8
✅ 正确：(x + y) + (x - y) = 10 + 2，所以 2x = 12

错误 3：只求出一个未知数就停止​

解方程组必须求出两个未知数的值！

小练习​

  1. 解方程组：

    {
      x + y = 8
      x - y = 2
    }

  2. 解方程组：

    {
      2x + y = 10
      x + y = 6
    }

  3. 解方程组：

    {
      3x + 2y = 11
      x - y = 1
    }

  4. 应用题：两数的和是 15，差是 3，求这两个数

  5. 应用题：买 2 支笔和 3 本本子花了 18 元，买 3 支笔和 2 本本子花了 17 元，求笔和本子的单价

💡 小贴士：解二元一次方程组就像"找两个线索破案"，需要两个方程才能确定两个未知数。代入消元法和加减消元法是最常用的方法！