二元一次方程组
当一个问题涉及两个未知数时，我们需要两个方程才能求解。这就是二元一次方程组！
什么是二元一次方程组？
二元一次方程组是由两个含有两个未知数的一次方程组成的方程组。
一般形式：
{
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
}
其中 x 和 y 是未知数，a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂ 是已知数。
例子：
{
x + y = 10
x - y = 2
}
方程组的解
方程组的解是 同时满足两个方程的 x 和 y 的值。
验证解
把 x 和 y 的值分别代入两个方程，看是否都成立：
例子：方程组
{
x + y = 10
x - y = 2
}
如果 x = 6, y = 4：
- 第一个方程：6 + 4 = 10 ✓
- 第二个方程：6 - 4 = 2 ✓
- 所以 x = 6, y = 4 是方程组的解
解方程组的方法
方法 1：代入消元法
从一个方程中解出一个未知数，代入另一个方程。
步骤
- 从其中一个方程解出一个未知数（如 y）
- 把这个表达式代入另一个方程
- 解出另一个未知数（x）
- 把 x 的值代回，求出 y
例子
{
x + y = 10 ...(1)
x - y = 2 ...(2)
}
步骤：
- 从方程 (1) 解出 y：y = 10 - x
- 代入方程 (2)：x - (10 - x) = 2
- 化简：x - 10 + x = 2
- 合并：2x = 12
- 求解：x = 6
- 代回：y = 10 - 6 = 4
- 所以解是：x = 6, y = 4
方法 2：加减消元法
通过加减两个方程，消去一个未知数。
步骤
- 调整系数，使某个未知数的系数相同（或相反）
- 两个方程相加（或相减），消去这个未知数
- 解出另一个未知数
- 代回求出另一个未知数
例子 1：直接相加
{
x + y = 10 ...(1)
x - y = 2 ...(2)
}
步骤：
- 两个方程相加：(x + y) + (x - y) = 10 + 2
- 化简：2x = 12
- 求解：x = 6
- 代入方程 (1)：6 + y = 10
- 求解：y = 4
- 所以解是：x = 6, y = 4
例子 2：需要调整系数
{
2x + 3y = 11 ...(1)
x + y = 5 ...(2)
}
步骤：
- 把方程 (2) 乘以 2：2x + 2y = 10 ...(3)
- 方程 (1) 减去方程 (3)：(2x + 3y) - (2x + 2y) = 11 - 10
- 化简：y = 1
- 代入方程 (2)：x + 1 = 5
- 求解：x = 4
- 所以解是：x = 4, y = 1
方法 3：图像法（几何意义）
每个方程表示一条直线，方程组的解就是两条直线的交点。
步骤
- 把每个方程化成 y = mx + b 的形式
- 在坐标系中画出两条直线
- 找到交点坐标
例子：
{
x + y = 10 → y = -x + 10
x - y = 2 → y = x - 2
}
两条直线的交点就是方程组的解。
方法选择建议
| 情况 | 推荐方法 | 原因 |
|---|---|---|
| 一个方程中某个未知数系数为 1 | 代入消元法 | 计算简单 |
| 两个方程中某个未知数系数相同或相反 | 加减消元法 | 直接消元 |
| 需要直观理解 | 图像法 | 几何直观 |
方程组的解的个数
唯一解
两条直线相交于一点：
{
x + y = 10
x - y = 2
}
解：x = 6, y = 4（唯一解）
无数个解
两条直线重合：
{
x + y = 10
2x + 2y = 20
}
两个方程实际上是同一个方程，所以有无数个解。
无解
两条直线平行（不相交）：
{
x + y = 10
x + y = 5
}
不可能同时满足，所以无解。
生活中的应用
购物问题
- 🛒 一个苹果 x 元，一个香蕉 y 元
- 买 3 个苹果和 2 个香蕉花了 19 元
- 买 2 个苹果和 3 个香蕉花了 16 元
- 方程组：
{
3x + 2y = 19
2x + 3y = 16
} - 解：x = 5, y = 2（苹果 5 元，香蕉 2 元）
年龄问题
- 👶 小明今年 x 岁，小红今年 y 岁
- 两人年龄和是 20 岁
- 小明比小红大 4 岁
- 方程组：
{
x + y = 20
x - y = 4
} - 解：x = 12, y = 8（小明 12 岁，小红 8 岁）
速度问题
- 🚗 顺流速度 x 公里/小时，逆流速度 y 公里/小时
- 船速 + 水速 = 顺流速度
- 船速 - 水速 = 逆流速度
- 如果顺流速度是 15，逆流速度是 9
- 方程组：
{
船速 + 水速 = 15
船速 - 水速 = 9
} - 解：船速 = 12，水速 = 3
常见错误
错误 1：代入时忘记加括号
❌ 错误：x - 10 - x = 2
✅ 正确：x - (10 - x) = 2
错误 2：加减消元时符号错误
❌ 错误：(x + y) - (x - y) = 10 - 2，所以 2y = 8
✅ 正确：(x + y) + (x - y) = 10 + 2，所以 2x = 12
错误 3：只求出一个未知数就停止
解方程组必须求出两个未知数的值！
小练习
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解方程组：
{
x + y = 8
x - y = 2
} -
解方程组：
{
2x + y = 10
x + y = 6
} -
解方程组：
{
3x + 2y = 11
x - y = 1
} -
应用题：两数的和是 15，差是 3，求这两个数
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应用题：买 2 支笔 和 3 本本子花了 18 元，买 3 支笔和 2 本本子花了 17 元，求笔和本子的单价
💡 小贴士：解二元一次方程组就像"找两个线索破案"，需要两个方程才能确定两个未知数。代入消元法和加减消元法是最常用的方法！
