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三元一次方程组

当问题涉及三个未知数时，我们需要三个方程才能求解。这就是三元一次方程组！

什么是三元一次方程组？​

三元一次方程组是由三个含有三个未知数的一次方程组成的方程组。

一般形式：

{
  a₁x + b₁y + c₁z = d₁
  a₂x + b₂y + c₂z = d₂
  a₃x + b₃y + c₃z = d₃
}

其中 x、y、z 是未知数，a₁、b₁、c₁、d₁ 等是已知数。

例子：

{
  x + y + z = 6
  x - y + z = 2
  x + y - z = 0
}

解三元一次方程组​

基本思路​

通过消元，把三元一次方程组变成二元一次方程组，再变成一元一次方程。

方法：逐步消元法​

步骤​

  1. 消去一个未知数（如 z），得到两个二元一次方程
  2. 解二元一次方程组，求出两个未知数（如 x 和 y）
  3. 代回原方程，求出第三个未知数（z）
  4. 检验：把解代入三个原方程验证

例子​

{
  x + y + z = 6   ...(1)
  x - y + z = 2   ...(2)
  x + y - z = 0   ...(3)
}

步骤 1：消去 z

  • 方程 (1) - 方程 (2)：

    (x + y + z) - (x - y + z) = 6 - 2
    2y = 4
    y = 2   ...(4)

  • 方程 (1) + 方程 (3)：

    (x + y + z) + (x + y - z) = 6 + 0
    2x + 2y = 6
    x + y = 3   ...(5)

步骤 2：解二元一次方程组

  • 从方程 (4) 知道 y = 2
  • 代入方程 (5)：x + 2 = 3
  • 所以 x = 1

步骤 3：求 z

  • 把 x = 1, y = 2 代入方程 (1)： 
    1 + 2 + z = 6
    z = 3

步骤 4：检验

  • 方程 (1)：1 + 2 + 3 = 6 ✓
  • 方程 (2)：1 - 2 + 3 = 2 ✓
  • 方程 (3)：1 + 2 - 3 = 0 ✓

所以解是：x = 1, y = 2, z = 3

解法的技巧​

技巧 1：选择容易消去的未知数​

优先选择系数简单或相同的未知数来消去。

技巧 2：灵活组合方程​

可以：

  • 两个方程相加
  • 两个方程相减
  • 一个方程乘以常数后与另一个方程相加（或相减）

技巧 3：逐步简化​

每消去一个未知数，方程就变得更简单。

特殊情况的处理​

情况 1：有唯一解​

三个方程独立，有唯一解。

情况 2：有无数个解​

三个方程不独立（其中一个可以由另外两个推出）。

情况 3：无解​

三个方程矛盾（不可能同时满足）。

生活中的应用​

购物问题​

  • 🛒 苹果 x 元/个，香蕉 y 元/个，橙子 z 元/个
    • 买 2 个苹果、3 个香蕉、1 个橙子花了 20 元
    • 买 1 个苹果、2 个香蕉、3 个橙子花了 18 元
    • 买 3 个苹果、1 个香蕉、2 个橙子花了 19 元
    • 方程组： 
      {
        2x + 3y + z = 20
        x + 2y + 3z = 18
        3x + y + 2z = 19
      }

年龄问题​

  • 👶 小明 x 岁，小红 y 岁，小刚 z 岁
    • 三人年龄和是 30 岁
    • 小明比小红大 2 岁
    • 小红比小刚大 3 岁
    • 方程组： 
      {
        x + y + z = 30
        x - y = 2
        y - z = 3
      }

混合问题​

  • 🧪 三种溶液混合
    • 溶液 A 的浓度 x%，溶液 B 的浓度 y%，溶液 C 的浓度 z%
    • 按不同比例混合得到不同浓度的混合液
    • 可以建立三元一次方程组求解

常见错误​

错误 1：消元时计算错误​

要仔细计算，特别是符号。

错误 2：只求出部分未知数​

必须求出所有三个未知数的值。

错误 3：忘记检验​

解完后要代入三个原方程验证。

小练习​

  1. 解方程组：

    {
      x + y + z = 6
      x - y + z = 2
      x + y - z = 0
    }

  2. 解方程组：

    {
      x + y + z = 12
      2x + y - z = 5
      x - y + z = 3
    }

  3. 应用题：三个数的和是 15，第一个数比第二个数大 2，第二个数比第三个数大 3，求这三个数

💡 小贴士：解三元一次方程组就像"层层剥洋葱"，一步一步消去未知数，最终得到答案。要有耐心，仔细计算每一步！