三元一次方程组
当问题涉及三个未知数时，我们需要三个方程才能求解。这就是三元一次方程组！
什么是三元一次方程组？
三元一次方程组是由三个含有三个未知数的一次方程组成的方程组。
一般形式：
{
a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃
}
其中 x、y、z 是未知数，a₁、b₁、c₁、d₁ 等是已知数。
例子：
{
x + y + z = 6
x - y + z = 2
x + y - z = 0
}
解三元一次方程组
基本思路
通过消元，把三元一次方程组变成二元一次方程组，再变成一元一次方程。
方法：逐步消元法
步骤
- 消去一个未知数（如 z），得到两个二元一次方程
- 解二元一次方程组，求出两个未知数（如 x 和 y）
- 代回原方程，求出第三个未知数（z）
- 检验：把解代入三个原方程验证
例子
{
x + y + z = 6 ...(1)
x - y + z = 2 ...(2)
x + y - z = 0 ...(3)
}
步骤 1：消去 z
-
方程 (1) - 方程 (2)：
(x + y + z) - (x - y + z) = 6 - 2
2y = 4
y = 2 ...(4) -
方程 (1) + 方程 (3)：
(x + y + z) + (x + y - z) = 6 + 0
2x + 2y = 6
x + y = 3 ...(5)
步骤 2：解二元一次方程组
- 从方程 (4) 知道 y = 2
- 代入方程 (5)：x + 2 = 3
- 所以 x = 1
步骤 3：求 z
- 把 x = 1, y = 2 代入方程 (1)：
1 + 2 + z = 6
z = 3
步骤 4：检验
- 方程 (1)：1 + 2 + 3 = 6 ✓
- 方程 (2)：1 - 2 + 3 = 2 ✓
- 方程 (3)：1 + 2 - 3 = 0 ✓
所以解是：x = 1, y = 2, z = 3
解法的技巧
技巧 1：选择容易消去的未知数
优先选择系数简单或相同的未知数来消去。
技巧 2：灵活组合方程
可以：
- 两个方程相加
- 两个方程相减
- 一个方程乘以常数后与另一个方程相加（或相减）
技巧 3：逐步简化
每消去一个未知数，方程就变得更简单。
特殊情况的处理
情况 1：有唯一解
三个方程独立，有唯一解。
情况 2：有无数个解
三个方程不独立（其中一个可以由另外两个推出）。
情况 3：无解
三个方程矛盾（不可能同时满足）。
生活中的应用
购物问题
- 🛒 苹果 x 元/个，香蕉 y 元/个，橙子 z 元/个
- 买 2 个苹果、3 个香蕉、1 个橙子花了 20 元
- 买 1 个苹果、2 个香蕉、3 个橙子花了 18 元
- 买 3 个苹果、1 个香蕉、2 个橙子花了 19 元
- 方程组：
{
2x + 3y + z = 20
x + 2y + 3z = 18
3x + y + 2z = 19
}
年龄问题
- 👶 小明 x 岁，小红 y 岁，小刚 z 岁
- 三人年龄和是 30 岁
- 小明比小红大 2 岁
- 小红比小刚大 3 岁
- 方程组：
{
x + y + z = 30
x - y = 2
y - z = 3
}
混合问题
- 🧪 三种溶液混合
- 溶液 A 的浓度 x%，溶液 B 的浓度 y%，溶液 C 的浓度 z%
- 按不同比例混合得到不同浓度的混合液
- 可以建立三元一次方程组求解
常见错误
错误 1：消元时计算错误
要仔细计算，特别是符号。
错误 2：只求出部分未知数
必须求出所有三个未知数的值。
错误 3：忘记检验
解完后要代入三个原方程验证。
小练习
-
解方程组：
{
x + y + z = 6
x - y + z = 2
x + y - z = 0
} -
解方程组：
{
x + y + z = 12
2x + y - z = 5
x - y + z = 3
} -
应用题：三个数的和是 15，第一个数比第二个数大 2，第二个数比第三个数大 3，求这三个数
💡 小贴士：解三元一次方程组就像"层层剥洋葱"，一步一步消去未知数，最终得到答案。要有耐心，仔细计算每一步！
