统计学基本概念

统计学是收集、整理、分析和解释数据的科学！理解统计学的基本概念，是学习概率与统计的基础。

什么是统计？

统计（Statistics）是收集、整理、分析和解释数据的科学。根据经济学家和抽样方法先驱阿瑟-里昂-鲍利（Arthur Lyon Bowley）的说法，统计学是「对调查事件的量化描述，并将之与其他事件进行联系」。

简单来说，统计就像"从数据中找规律"：

• 收集数据
• 整理数据
• 分析数据
• 得出结论

总体和样本

总体

总体（Population）是研究对象的全体。

例子：

• 所有中国人的身高
• 所有学生的成绩
• 所有产品的质量

样本

样本（Sample）是从总体中抽取的一部分。

例子：

• 随机抽取 1000 个中国人的身高
• 随机抽取 50 个学生的成绩
• 随机抽取 100 个产品的质量

关系

• 总体是完整的集合
• 样本是总体的子集
• 通过样本推断总体

参数和统计量

参数

参数（Parameter）是反映总体特征的统计指标，是描述总体特征的数值，是固定的常量。

例子：

• 总体均值 $\mu$
• 总体方差 $\sigma^2$
• 总体比例 $p$

统计量

统计量（Statistic）是反映样本特征的统计指标，是描述样本特征的数值，是在参数附近波动的随机变量。

例子：

• 样本均值 $\bar{x}$
• 样本方差 $s^2$
• 样本比例 $\hat{p}$

关系

• 参数是总体的特征（通常未知），是固定的常量
• 统计量是样本的特征（可以计算），是随机变量
• 用统计量估计参数

统计资料分布

统计资料分布（Statistical Distribution）是数据的分类方式：

计量资料

计量资料（Quantitative Data）是可以用数值表示的数据，如身高、体重、温度等。

定性资料

定性资料（Qualitative Data）是用类别表示的数据，如性别、颜色、类型等。

计数资料

计数资料（Count Data）是可以用计数表示的数据，如人数、件数等。

等级资料

等级资料（Ordinal Data）是有顺序的类别数据，如成绩等级（优秀、良好、及格）、满意度（非常满意、满意、一般、不满意）等。

描述性统计

集中趋势

描述数据集中趋势的指标：

均值（Mean）

均值是所有数据的平均值：

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$$

例子：数据 $1, 2, 3, 4, 5$

$$\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3$$

中位数（Median）

中位数是将数据从小到大排列后，位于中间的数。

例子：数据 $1, 2, 3, 4, 5$

• 中位数 = $3$

如果数据个数是偶数，中位数是中间两个数的平均值。

例子：数据 $1, 2, 3, 4, 5, 6$

• 中位数 = $\frac{3 + 4}{2} = 3.5$

众数（Mode）

众数是出现次数最多的数。

例子：数据 $1, 2, 2, 3, 4$

• 众数 = $2$

离散程度

描述数据离散程度的指标：

极差（Range）

极差（Range）是一组数据中最大值与最小值之间的差距，又称范围误差或全距，以 $R$ 表示。

$$R = x_{\max} - x_{\min}$$

例子：数据 $1, 2, 3, 4, 5$

• 极差 $R = 5 - 1 = 4$

四分位间距（Interquartile Range）

四分位数（Quartile）也称四分位点，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数。

• 第一四分位数（Q1）：告诉我们 25% 的数据点低于这个数值，75% 的数据点高于这个数值。它也被称为第25百分位数。
• 第二四分位数（Q2）：告诉我们 50% 的数据点低于该数值，其余 50% 高于该数值。它也被称为第50百分位数，等于中位数。
• 第三四分位数（Q3）：告诉我们 75% 的数据点低于该数值，其余 25% 高于该数值。它也被称为第75百分位数。

四分位间距（Interquartile Range，IQR）是第三四分位数和第一四分位数的差值：

$IQR = Q_3 - Q_1$

它反映了中间 50% 数据的离散程度，其数值越小，说明中间的数据越集中；其数值越大，说明中间的数据越分散。四分位距不受极值的影响。

方差（Variance）

方差（Variance）是各个数据分别与其平均数之差的平方和的平均数，用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。

样本方差（除以 $n-1$）：

$$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$

总体方差（除以 $n$）：

$$\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2$$

例子：数据 $1, 2, 3, 4, 5$

• 均值 $\bar{x} = 3$
• 方差 $s^2 = \frac{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$

标准差（Standard Deviation）

标准差（Standard Deviation，S.D. 或 Std. Dev）是方差的平方根。标准差越接近于零，数据点就越趋近于平均值。

$$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$$

例子：数据 $1, 2, 3, 4, 5$

• 均值 $\bar{x} = 3$
• 方差 $s^2 = 2.5$
• 标准差 $s = \sqrt{2.5} \approx 1.58$

变异系数（Coefficient of Variation）

变异系数（Coefficient of Variation，CV）的定义为标准差与平均值之比。又称变差系数、离差系数、离散系数，在概率论和统计学中，是概率分布离散程度的一个归一化量度。

$CV = \frac{s}{\bar{x}}$

比起标准差来，变异系数的好处是不需要参照数据的平均值。变异系数是一个无量纲量，因此在比较两组量纲不同或均值不同的数据时，应该用变异系数而不是标准差来作为比较的参考。

例子：数据 $1, 2, 3, 4, 5$

• 均值 $\bar{x} = 3$
• 标准差 $s \approx 1.58$
• 变异系数 $CV = \frac{1.58}{3} \approx 0.527$

推断性统计

点估计

点估计是用一个数值估计参数。

例子：

• 用样本均值 $\bar{x}$ 估计总体均值 $\mu$
• 用样本比例 $\hat{p}$ 估计总体比例 $p$

区间估计

区间估计是用一个区间估计参数。

例子：

• 总体均值 $\mu$ 的 $95\%$ 置信区间：$[\bar{x} - 1.96\frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x} + 1.96\frac{s}{\sqrt{n}}]$

假设检验

假设检验是检验关于总体的假设。

步骤：

1. 提出原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$
2. 选择检验统计量
3. 确定显著性水平 $\alpha$
4. 计算 $p$ 值
5. 做出决策

生活中的应用

市场调研

• 📊 问卷调查：用统计方法分析问卷数据
• 📈 市场分析：分析市场趋势

质量控制

• 🏭 产品质量：控制产品质量
• 📐 工程管理：管理工程项目

科学研究

• 🔬 实验设计：设计科学实验
• 📊 数据分析：分析实验数据

常见错误

错误 1：总体和样本混淆

• 总体：研究对象的全体
• 样本：从总体中抽取的一部分

错误 2：参数和统计量混淆

• 参数：总体的特征
• 统计量：样本的特征

错误 3：方差公式错误

样本方差除以 $n-1$，总体方差除以 $n$。

错误 4：混淆不同的离散程度指标

• 极差：简单但受极值影响大
• 四分位间距：不受极值影响，反映中间50%数据的离散程度
• 标准差：最常用，但有量纲
• 变异系数：无量纲，适合比较不同量纲或均值的数据

小练习

1. 计算数据 $2, 4, 6, 8, 10$ 的均值、中位数、方差和标准差
2. 计算数据 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ 的四分位数和四分位间距
3. 如果样本均值是 50，样本标准差是 10，样本大小是 100，求总体均值的 $95\%$ 置信区间和变异系数
4. 比较均值、中位数、众数的特点，以及极差、四分位间距、标准差、变异系数的适用场景
5. 应用题：一个班级 30 个学生的数学成绩，如何用统计方法分析这些数据？

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💡 小贴士：统计学是收集、整理、分析和解释数据的科学。记住：总体是全体，样本是部分；参数是总体的特征，统计量是样本的特征。掌握统计学的基本概念，你就能分析和解释数据！