球坐标系

球坐标系可被视为极坐标系的三维推广！它特别适合描述球形的物体和现象。

什么是球坐标系？

球坐标系（Spherical Coordinate System）是数学上利用球坐标 $(r, \theta, \varphi)$ 表示一个点 $P$ 在三维空间的位置的三维正交坐标系。

简单理解，球坐标系就像"地球仪"：

• 用距离表示到原点的距离
• 用角度表示方向
• 适合描述球形的物体

球坐标系的构成

坐标轴

球坐标系有三个坐标：

• $r$（径向距离，radial distance）：原点与点 $P$ 之间的距离（$r \ge 0$）
• $\theta$（极角，polar angle）：原点到点 $P$ 的连线与正 z 轴之间的角度（$0 \le \theta \le \pi$）
• $\varphi$（方位角，azimuth angle）：原点到点 $P$ 的连线在 xy 平面的投影线与正 x 轴之间的角度（$0 \le \varphi < 2\pi$）

坐标表示

球坐标系中的点用 $(r, \theta, \varphi)$ 表示。

注意：有些教材使用不同的符号约定，如 $(r, \phi, \theta)$ 或 $(\rho, \theta, \phi)$，要注意区分。

几何意义

• $r$：从原点到点 $P$ 的直线距离
• $\theta$：从 z 轴正方向到点 $P$ 的夹角（倾斜角）
• $\varphi$：从 x 轴正方向到点 $P$ 在 xy 平面上的投影的夹角（方位角）

特殊情况

• 当 $r = 0$ 时，$\theta$ 与 $\varphi$ 都一起失去意义（所有角度都指向原点）
• 当 $\theta = 0$ 或 $\theta = \pi$ 时，$\varphi$ 失去意义（点在 z 轴上）

球坐标与笛卡尔坐标的转换

球坐标转笛卡尔坐标

如果球坐标为 $(r, \theta, \varphi)$，则笛卡尔坐标为：

$x = r\sin\theta\cos\varphi$

$y = r\sin\theta\sin\varphi$

$z = r\cos\theta$

笛卡尔坐标转球坐标

如果笛卡尔坐标为 $(x, y, z)$，则球坐标为：

$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

$\theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right)$

$\varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$

注意：$\varphi$ 的值需要根据 $x, y$ 的符号确定所在的象限。

球坐标系的应用

物理应用

• ⚡ 电磁学：描述点电荷的电场
• 🌊 波动：描述球面波
• 🔬 量子力学：描述原子轨道

地理应用

• 🌍 地理坐标：经纬度系统类似于球坐标系
• 🗺️ 地图投影：地图投影中使用球坐标

工程应用

• 🛰️ 卫星定位：GPS 系统使用球坐标
• 📡 雷达系统：雷达使用球坐标

如何用球坐标找点

如想要用球坐标，找出点 $P$ 在空间的地点，可按照以下步骤：

1. 从原点往正 z 轴移动 $r$ 单位
2. 用右手定则，大拇指往 y 轴指，x 轴与 z 轴朝其他手指的指向旋转 $\theta$ 角值
3. 用右手定则，大拇指往 z 轴指，x 轴与 y 轴朝其他手指的指向旋转 $\varphi$ 角值

生活中的应用

导航

• 🧭 GPS 定位：GPS 使用球坐标系统
• 🗺️ 地图：地图使用球坐标

科学

• 🔬 天文学：描述天体的位置
• ⚡ 物理学：描述各种物理现象

常见错误

错误 1：角度范围混淆

• $\theta$：$0 \le \theta \le \pi$（极角）
• $\varphi$：$0 \le \varphi < 2\pi$（方位角）

错误 2：符号约定混淆

不同教材可能使用不同的符号约定，要注意区分。

错误 3：转换公式使用错误

转换公式中要注意象限的判断和角度的范围。

小练习

1. 将球坐标 $(5, 45°, 30°)$ 转换为笛卡尔坐标
2. 将笛卡尔坐标 $(3, 4, 5)$ 转换为球坐标
3. 如果一个球的半径是 3，用球坐标表示其表面上的点
4. 应用题：一个卫星距离地球中心 1000 公里，极角 $60°$，方位角 $45°$，求它在笛卡尔坐标系中的位置

---

💡 小贴士：球坐标系是极坐标系的三维推广。记住：$x = r\sin\theta\cos\varphi$，$y = r\sin\theta\sin\varphi$，$z = r\cos\theta$。球坐标系特别适合描述球形的物体和现象！