球体

球体是最完美的立体图形！从地球到篮球，从乒乓球到肥皂泡，球体在我们的生活中无处不在。

什么是球体？

球体（Sphere）是空间中到定点（球心）距离等于定长（半径）的所有点的集合。

简单理解

球体就像"立体的圆"：

• 有一个中心点（球心）
• 从中心到表面的距离都相等（半径）
• 没有角，是光滑的曲面

组成部分

• 球心（Center）：球的中心点，通常用 $O$ 表示
• 半径（Radius）：从球心到球面上任意一点的距离，通常用 $r$ 表示
• 直径（Diameter）：通过球心，两端都在球面上的线段，通常用 $d$ 表示

关系

$$d = 2r$$

直径等于半径的 2 倍。

球体的性质

性质 1：对称性

球体有无数条对称轴，任何通过球心的直线都是对称轴。

性质 2：所有点到球心距离相等

球面上任意一点到球心的距离都等于半径 $r$。

性质 3：截面都是圆

用平面截球体，截面都是圆：

• 如果平面通过球心，截面是大圆（半径 = $r$）
• 如果平面不通过球心，截面是小圆（半径 < $r$）

球体的体积

公式

$$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$

其中：

• $V$：体积
• $r$：半径
• $\pi$：圆周率

推导（直观理解）

球体的体积公式可以通过积分推导，但我们可以这样理解：

• 球体的体积大约是外接圆柱体体积的 $\frac{2}{3}$
• 外接圆柱体体积 = $\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$
• 球体体积 ≈ $\frac{2}{3} \times 2\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3$

例子

例子 1：半径 $r = 5$ cm 的球体

• 体积 $V = \frac{4}{3}\pi \times 5^3 = \frac{4}{3}\pi \times 125 = \frac{500\pi}{3} \approx 523.6$ cm³

例子 2：直径 $d = 10$ cm 的球体

• 半径 $r = \frac{d}{2} = 5$ cm
• 体积 $V = \frac{4}{3}\pi \times 5^3 = \frac{500\pi}{3} \approx 523.6$ cm³

球体的表面积

公式

$$S = 4\pi r^2$$

其中：

• $S$：表面积
• $r$：半径
• $\pi$：圆周率

推导（直观理解）

球体的表面积可以这样理解：

• 球体的表面积等于 4 个半径为 $r$ 的圆的面积
• 一个圆的面积 = $\pi r^2$
• 球体表面积 = $4 \times \pi r^2 = 4\pi r^2$

例子

例子 1：半径 $r = 5$ cm 的球体

• 表面积 $S = 4\pi \times 5^2 = 4\pi \times 25 = 100\pi \approx 314.2$ cm²

例子 2：直径 $d = 10$ cm 的球体

• 半径 $r = 5$ cm
• 表面积 $S = 4\pi \times 5^2 = 100\pi \approx 314.2$ cm²

球体的截面

大圆

大圆是平面通过球心时，截面形成的圆。

性质：

• 半径 = 球体半径 $r$
• 面积 = $\pi r^2$
• 周长 = $2\pi r$

小圆

小圆是平面不通过球心时，截面形成的圆。

性质：

• 半径 < 球体半径 $r$
• 如果截面到球心的距离是 $d$，则小圆半径 = $\sqrt{r^2 - d^2}$

常见错误

错误 1：体积和表面积公式混淆

• 体积：$V = \frac{4}{3}\pi r^3$
• 表面积：$S = 4\pi r^2$

错误 2：半径和直径混淆

❌ 错误：$r = d$
✅ 正确：$r = \frac{d}{2}$

错误 3：体积公式中的系数

球体体积公式是 $\frac{4}{3}\pi r^3$，不要忘记 $\frac{4}{3}$。

小练习

1. 如果球体的半径是 6 cm，求体积和表面积
2. 如果球体的直径是 12 cm，求体积和表面积
3. 如果球体的体积是 $\frac{500\pi}{3}$ cm³，求半径和表面积
4. 应用题：一个球形气球，半径 20 cm，求需要多少平方厘米的材料？（忽略接缝）

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💡 小贴士：球体是最完美的立体图形！记住：体积 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$，表面积 $S = 4\pi r^2$。球体的表面积等于 4 个半径为 $r$ 的圆的面积！