跳到主要内容

空间向量

空间向量是描述空间位置和方向的重要工具！理解空间向量，能帮助我们更好地理解空间几何。

什么是空间向量？​

空间向量（Spatial Vector）是既有大小又有方向的量，在三维空间中表示。

简单理解​

空间向量就像"带方向的箭头"：

  • 有起点和终点
  • 有长度（大小）
  • 有方向

表示方法​

空间向量可以用：

  • 有向线段：AB→\overrightarrow{AB}（从 AA 到 BB）
  • 坐标表示：v⃗=(x,y,z)\vec{v} = (x, y, z)
  • 单位向量：i⃗=(1,0,0)\vec{i} = (1, 0, 0)，j⃗=(0,1,0)\vec{j} = (0, 1, 0)，k⃗=(0,0,1)\vec{k} = (0, 0, 1)

空间向量的坐标表示​

坐标形式​

如果向量 v⃗\vec{v} 的起点是原点 O(0,0,0)O(0, 0, 0)，终点是 P(x,y,z)P(x, y, z)，则：

v⃗=(x,y,z)\vec{v} = (x, y, z)

其中：

  • xx：xx 轴方向的分量
  • yy：yy 轴方向的分量
  • zz：zz 轴方向的分量

模长（大小）​

向量 v⃗=(x,y,z)\vec{v} = (x, y, z) 的模长：

∣v⃗∣=x2+y2+z2|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

例子：

  • 向量 v⃗=(3,4,5)\vec{v} = (3, 4, 5)
  • 模长 ∣v⃗∣=32+42+52=9+16+25=50=52|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}

空间向量的运算​

加法​

如果 u⃗=(x1,y1,z1)\vec{u} = (x_1, y_1, z_1)，v⃗=(x2,y2,z2)\vec{v} = (x_2, y_2, z_2)，则：

u⃗+v⃗=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)\vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)

几何意义：向量加法的平行四边形法则或三角形法则

减法​

如果 u⃗=(x1,y1,z1)\vec{u} = (x_1, y_1, z_1)，v⃗=(x2,y2,z2)\vec{v} = (x_2, y_2, z_2)，则：

u⃗−v⃗=(x1−x2,y1−y2,z1−z2)\vec{u} - \vec{v} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)

数乘​

如果 v⃗=(x,y,z)\vec{v} = (x, y, z)，kk 是实数，则：

kv⃗=(kx,ky,kz)k\vec{v} = (kx, ky, kz)

几何意义：

  • 如果 k>0k > 0，方向不变，长度变为原来的 kk 倍
  • 如果 k<0k < 0，方向相反，长度变为原来的 ∣k∣|k| 倍

点积（数量积）​

如果 u⃗=(x1,y1,z1)\vec{u} = (x_1, y_1, z_1)，v⃗=(x2,y2,z2)\vec{v} = (x_2, y_2, z_2)，则：

u⃗⋅v⃗=x1x2+y1y2+z1z2\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2

几何意义：

u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta

其中 θ\theta 是两向量的夹角

性质：

  • 如果 u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}，则 u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0
  • 如果 u⃗∥v⃗\vec{u} \parallel \vec{v}，则 u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|（同向）或 −∣u⃗∣∣v⃗∣-|\vec{u}||\vec{v}|（反向）

叉积（向量积）​

如果 u⃗=(x1,y1,z1)\vec{u} = (x_1, y_1, z_1)，v⃗=(x2,y2,z2)\vec{v} = (x_2, y_2, z_2)，则：

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = (y_1z_2 - z_1y_2, z_1x_2 - x_1z_2, x_1y_2 - y_1x_2)$$ **几何意义**： - 结果是一个向量，垂直于 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 所在的平面 - 方向由右手法则确定 - 模长 $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta$（$\theta$ 是两向量的夹角） ## 单位向量 ### 定义 **单位向量**是模长为 1 的向量。 ### 求法 如果 $\vec{v} \neq \vec{0}$，则单位向量： $$\vec{e} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$$ **例子**： - 向量 $\vec{v} = (3, 4, 5)$ - 模长 $|\vec{v}| = 5\sqrt{2}$ - 单位向量 $\vec{e} = \frac{(3, 4, 5)}{5\sqrt{2}} = \left(\frac{3}{5\sqrt{2}}, \frac{4}{5\sqrt{2}}, \frac{5}{5\sqrt{2}}\right)$ ## 空间向量的应用 ### 表示位置 - 📍 **点的位置**：用向量表示点的位置 - 📐 **位移**：用向量表示位移 ### 表示方向 - 🧭 **方向**：用向量表示方向 - 📐 **法向量**：用向量表示平面的法向量 ### 计算 - 📊 **距离**：用向量计算距离 - 📐 **角度**：用向量计算角度 - 📦 **面积**：用叉积计算面积 ## 生活中的应用 #### 物理 - ⚡ **力**：力是向量 - 🚀 **速度**：速度是向量 - 📐 **加速度**：加速度是向量 #### 计算机图形学 - 💻 **3D 图形**：用向量表示 3D 图形 - 🎮 **游戏开发**：用向量进行游戏开发 #### 工程 - 🏗️ **工程计算**：用向量进行工程计算 - ⚙️ **机械设计**：用向量进行机械设计 ## 常见错误 #### 错误 1：向量和标量混淆 - **向量**：有大小和方向 - **标量**：只有大小，没有方向 #### 错误 2：点积和叉积混淆 - **点积**：结果是标量 - **叉积**：结果是向量 #### 错误 3：模长计算错误 模长公式是 $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$，不要忘记开平方。 ## 小练习 1. 如果向量 $\vec{u} = (1, 2, 3)$，$\vec{v} = (4, 5, 6)$，求 $\vec{u} + \vec{v}$ 和 $\vec{u} - \vec{v}$ 2. 如果向量 $\vec{v} = (3, 4, 5)$，求 $|\vec{v}|$ 和单位向量 3. 如果向量 $\vec{u} = (1, 0, 0)$，$\vec{v} = (0, 1, 0)$，求 $\vec{u} \cdot \vec{v}$ 和 $\vec{u} \times \vec{v}$ 4. 应用题：用向量计算空间中两点 $A(1, 2, 3)$ 和 $B(4, 5, 6)$ 之间的距离 --- > 💡 **小贴士**：空间向量是描述空间位置和方向的重要工具。记住：向量有大小和方向，点积结果是标量，叉积结果是向量。掌握向量的运算，你就能解决很多空间几何问题！