空间几何体

空间几何体种类丰富，除了常见的正方体、长方体、圆柱体、球体、圆锥体，还有很多其他有趣的立体图形！

什么是空间几何体？

空间几何体（Spatial Solid）是在三维空间中由点、线、面围成的封闭图形。

分类

空间几何体可以分为：

• 多面体：由多个平面围成的立体图形
• 旋转体：由平面图形绕轴旋转形成的立体图形

多面体

定义

多面体（Polyhedron）是由多个平面多边形围成的立体图形。

组成部分

• 面：围成多面体的平面多边形
• 棱：面的交线
• 顶点：棱的交点

常见多面体

正多面体

正多面体是所有面都是全等的正多边形，且每个顶点处的面数都相同的多面体。

正多面体只有 5 种：

1. 正四面体：4 个面，都是正三角形
2. 正六面体（正方体）：6 个面，都是正方形
3. 正八面体：8 个面，都是正三角形
4. 正十二面体：12 个面，都是正五边形
5. 正二十面体：20 个面，都是正三角形

棱柱

棱柱（Prism）是两个底面平行且全等的多边形，侧面都是平行四边形的多面体。

性质：

• 两个底面平行且全等
• 侧面都是平行四边形
• 侧棱平行且相等

分类：

• 三棱柱：底面是三角形
• 四棱柱：底面是四边形（长方体是特殊的四棱柱）
• 五棱柱：底面是五边形
• $n$ 棱柱：底面是 $n$ 边形

体积： $V = Sh$

其中 $S$ 是底面积，$h$ 是高

表面积： $S = 2S_{\text{底}} + S_{\text{侧}}$

其中 $S_{\text{侧}}$ 是所有侧面的面积和

棱锥

棱锥（Pyramid）是一个底面是多边形，侧面都是三角形的多面体。

性质：

• 一个底面是多边形
• 侧面都是三角形
• 所有侧面的顶点交于一点（顶点）

分类：

• 三棱锥：底面是三角形（四面体）
• 四棱锥：底面是四边形
• 五棱锥：底面是五边形
• $n$ 棱锥：底面是 $n$ 边形

体积： $V = \frac{1}{3}Sh$

其中 $S$ 是底面积，$h$ 是高

表面积： $S = S_{\text{底}} + S_{\text{侧}}$

其中 $S_{\text{侧}}$ 是所有侧面的面积和

旋转体

定义

旋转体（Solid of Revolution）是由平面图形绕一条直线（旋转轴）旋转形成的立体图形。

常见旋转体

圆柱体

由矩形绕一条边旋转形成。

圆锥体

由直角三角形绕一条直角边旋转形成。

球体

由半圆绕直径旋转形成。

圆台

圆台（Frustum）是由圆锥截去顶部小圆锥后剩下的部分。

性质：

• 两个底面都是圆，且平行
• 侧面是曲面

体积： $V = \frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2)$

其中 $r_1, r_2$ 是上下底面的半径，$h$ 是高

表面积： $S = \pi(r_1^2 + r_2^2) + \pi(r_1 + r_2)l$

其中 $l$ 是母线长度

组合体

定义

组合体是由多个简单几何体组合而成的立体图形。

计算方法

计算组合体的体积和表面积：

1. 分割法：把组合体分割成几个简单几何体，分别计算
2. 补全法：把组合体补全成简单几何体，计算后再减去多余部分

例子

例子：一个圆柱体上放一个圆锥体

• 体积 = 圆柱体体积 + 圆锥体体积
• 表面积 = 圆柱体表面积 + 圆锥体侧面积（减去重叠的圆）

常见错误

错误 1：多面体和旋转体混淆

• 多面体：由平面围成
• 旋转体：由旋转形成

错误 2：体积和表面积公式使用错误

不同几何体有不同的公式，要选择正确的公式。

错误 3：组合体计算错误

计算组合体时，要注意不要重复计算或遗漏部分。

小练习

1. 如果一个三棱柱的底面积是 20 cm²，高是 10 cm，求体积
2. 如果一个四棱锥的底面积是 30 cm²，高是 8 cm，求体积
3. 如果一个圆台的上底面半径是 3 cm，下底面半径是 5 cm，高是 6 cm，求体积
4. 应用题：一个组合体由正方体和半球组成，正方体棱长 10 cm，半球半径 5 cm，求组合体的体积

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💡 小贴士：空间几何体种类丰富。记住：多面体由平面围成，旋转体由旋转形成。掌握各种几何体的性质，你就能解决空间几何问题！