空间位置关系

空间位置关系是立体几何的重要内容！理解点、线、面的位置关系，是学习立体几何的基础。

什么是空间位置关系？

空间位置关系是空间中点、线、面之间的位置关系，包括平行、相交、垂直等。

点与点的位置关系

关系

• 重合：两个点位置相同
• 不重合：两个点位置不同

距离

空间中两点 $A(x_1, y_1, z_1)$ 和 $B(x_2, y_2, z_2)$ 的距离：

$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

点与直线的位置关系

关系

• 点在直线上：点在直线上
• 点不在直线上：点不在直线上

点到直线的距离

如果点 $P$ 到直线 $l$ 的距离是 $d$，则：

$d = \frac{|\overrightarrow{PA} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$

其中 $A$ 是直线上一点，$\vec{v}$ 是直线的方向向量

点与平面的位置关系

关系

• 点在平面内：点在平面上
• 点不在平面内：点不在平面上

点到平面的距离

如果点 $P(x_0, y_0, z_0)$ 到平面 $Ax + By + Cz + D = 0$ 的距离是 $d$，则：

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

直线与直线的位置关系

关系

平行

平行：两条直线在同一平面内，且没有公共点。

判定：

• 方向向量平行（共线）
• 且不在同一直线上

相交

相交：两条直线有且仅有一个公共点。

判定：

• 方向向量不平行
• 且共面

异面

异面：两条直线不在同一平面内，且没有公共点。

判定：

• 方向向量不平行
• 且不共面

夹角

两条直线的夹角 $\theta$：

$\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$

其中 $\vec{u}, \vec{v}$ 是两条直线的方向向量

直线与平面的位置关系

关系

平行

平行：直线与平面没有公共点。

判定：

• 直线的方向向量与平面的法向量垂直
• 且直线上有一点不在平面内

相交

相交：直线与平面有且仅有一个公共点。

判定：

• 直线的方向向量与平面的法向量不垂直

直线在平面内

直线在平面内：直线上的所有点都在平面内。

判定：

• 直线的方向向量与平面的法向量垂直
• 且直线上有一点在平面内

夹角

直线与平面的夹角 $\theta$：

$\sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}$

其中 $\vec{v}$ 是直线的方向向量，$\vec{n}$ 是平面的法向量

平面与平面的位置关系

关系

平行

平行：两个平面没有公共点。

判定：

• 两个平面的法向量平行（共线）
• 且两个平面不重合

相交

相交：两个平面有一条公共直线（交线）。

判定：

• 两个平面的法向量不平行

重合

重合：两个平面完全重合。

判定：

• 两个平面的法向量平行
• 且两个平面重合

夹角

两个平面的夹角 $\theta$：

$\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}$

其中 $\vec{n}_1, \vec{n}_2$ 是两个平面的法向量

垂直关系

直线与直线垂直

垂直：两条直线的夹角是 $90°$。

判定： $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

其中 $\vec{u}, \vec{v}$ 是两条直线的方向向量

直线与平面垂直

垂直：直线与平面的夹角是 $90°$。

判定： $\vec{v} \parallel \vec{n}$

其中 $\vec{v}$ 是直线的方向向量，$\vec{n}$ 是平面的法向量

平面与平面垂直

垂直：两个平面的夹角是 $90°$。

判定： $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$

其中 $\vec{n}_1, \vec{n}_2$ 是两个平面的法向量

生活中的应用

建筑

• 🏗️ 建筑设计：设计时考虑位置关系
• 🏛️ 结构设计：结构中的位置关系

工程

• ⚙️ 工程制图：制图中的位置关系
• 🔧 机械设计：机械零件的位置关系

计算机图形学

• 💻 3D 建模：3D 建模中的位置关系
• 🎮 游戏开发：游戏中的位置关系

常见错误

错误 1：平行和相交混淆

• 平行：没有公共点
• 相交：有公共点

错误 2：垂直判定错误

要正确使用向量判断垂直关系。

错误 3：距离公式使用错误

点到平面的距离公式要正确使用。

小练习

1. 判断：空间中两条平行直线是否一定共面？
2. 如果直线的方向向量是 $(1, 2, 3)$，平面的法向量是 $(2, -1, 0)$，判断直线与平面的位置关系
3. 如果两个平面的法向量分别是 $(1, 0, 0)$ 和 $(0, 1, 0)$，判断两个平面的位置关系
4. 应用题：计算点 $P(1, 2, 3)$ 到平面 $x + y + z = 1$ 的距离

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💡 小贴士：空间位置关系是立体几何的基础。记住：平行是没有公共点，相交是有公共点，垂直是夹角 $90°$。掌握位置关系的判定，你就能解决很多空间几何问题！