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空间位置关系

空间位置关系是立体几何的重要内容！理解点、线、面的位置关系，是学习立体几何的基础。

什么是空间位置关系？​

空间位置关系是空间中点、线、面之间的位置关系，包括平行、相交、垂直等。

点与点的位置关系​

关系​

  • 重合：两个点位置相同
  • 不重合：两个点位置不同

距离​

空间中两点 A(x1,y1,z1)A(x_1, y_1, z_1) 和 B(x2,y2,z2)B(x_2, y_2, z_2) 的距离：

∣AB∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

点与直线的位置关系​

关系​

  • 点在直线上：点在直线上
  • 点不在直线上：点不在直线上

点到直线的距离​

如果点 PP 到直线 ll 的距离是 dd，则：

d=∣PA→×v⃗∣∣v⃗∣d = \frac{|\overrightarrow{PA} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}

其中 AA 是直线上一点，v⃗\vec{v} 是直线的方向向量

点与平面的位置关系​

关系​

  • 点在平面内：点在平面上
  • 点不在平面内：点不在平面上

点到平面的距离​

如果点 P(x0,y0,z0)P(x_0, y_0, z_0) 到平面 Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 的距离是 dd，则：

d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

直线与直线的位置关系​

关系​

平行​

平行：两条直线在同一平面内，且没有公共点。

判定：

  • 方向向量平行（共线）
  • 且不在同一直线上

相交​

相交：两条直线有且仅有一个公共点。

判定：

  • 方向向量不平行
  • 且共面

异面​

异面：两条直线不在同一平面内，且没有公共点。

判定：

  • 方向向量不平行
  • 且不共面

夹角​

两条直线的夹角 θ\theta：

cos⁡θ=∣u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣∣v⃗∣\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}

其中 u⃗,v⃗\vec{u}, \vec{v} 是两条直线的方向向量

直线与平面的位置关系​

关系​

平行​

平行：直线与平面没有公共点。

判定：

  • 直线的方向向量与平面的法向量垂直
  • 且直线上有一点不在平面内

相交​

相交：直线与平面有且仅有一个公共点。

判定：

  • 直线的方向向量与平面的法向量不垂直

直线在平面内​

直线在平面内：直线上的所有点都在平面内。

判定：

  • 直线的方向向量与平面的法向量垂直
  • 且直线上有一点在平面内

夹角​

直线与平面的夹角 θ\theta：

sin⁡θ=∣v⃗⋅n⃗∣∣v⃗∣∣n⃗∣\sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}

其中 v⃗\vec{v} 是直线的方向向量，n⃗\vec{n} 是平面的法向量

平面与平面的位置关系​

关系​

平行​

平行：两个平面没有公共点。

判定：

  • 两个平面的法向量平行（共线）
  • 且两个平面不重合

相交​

相交：两个平面有一条公共直线（交线）。

判定：

  • 两个平面的法向量不平行

重合​

重合：两个平面完全重合。

判定：

  • 两个平面的法向量平行
  • 且两个平面重合

夹角​

两个平面的夹角 θ\theta：

cos⁡θ=∣n⃗1⋅n⃗2∣∣n⃗1∣∣n⃗2∣\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}

其中 n⃗1,n⃗2\vec{n}_1, \vec{n}_2 是两个平面的法向量

垂直关系​

直线与直线垂直​

垂直：两条直线的夹角是 90°90°。

判定： u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0

其中 u⃗,v⃗\vec{u}, \vec{v} 是两条直线的方向向量

直线与平面垂直​

垂直：直线与平面的夹角是 90°90°。

判定： v⃗∥n⃗\vec{v} \parallel \vec{n}

其中 v⃗\vec{v} 是直线的方向向量，n⃗\vec{n} 是平面的法向量

平面与平面垂直​

垂直：两个平面的夹角是 90°90°。

判定： n⃗1⋅n⃗2=0\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0

其中 n⃗1,n⃗2\vec{n}_1, \vec{n}_2 是两个平面的法向量

生活中的应用​

建筑​

  • 🏗️ 建筑设计：设计时考虑位置关系
  • 🏛️ 结构设计：结构中的位置关系

工程​

  • ⚙️ 工程制图：制图中的位置关系
  • 🔧 机械设计：机械零件的位置关系

计算机图形学​

  • 💻 3D 建模：3D 建模中的位置关系
  • 🎮 游戏开发：游戏中的位置关系

常见错误​

错误 1：平行和相交混淆​

  • 平行：没有公共点
  • 相交：有公共点

错误 2：垂直判定错误​

要正确使用向量判断垂直关系。

错误 3：距离公式使用错误​

点到平面的距离公式要正确使用。

小练习​

  1. 判断：空间中两条平行直线是否一定共面？
  2. 如果直线的方向向量是 (1,2,3)(1, 2, 3)，平面的法向量是 (2,−1,0)(2, -1, 0)，判断直线与平面的位置关系
  3. 如果两个平面的法向量分别是 (1,0,0)(1, 0, 0) 和 (0,1,0)(0, 1, 0)，判断两个平面的位置关系
  4. 应用题：计算点 P(1,2,3)P(1, 2, 3) 到平面 x+y+z=1x + y + z = 1 的距离

💡 小贴士：空间位置关系是立体几何的基础。记住：平行是没有公共点，相交是有公共点，垂直是夹角 90°90°。掌握位置关系的判定，你就能解决很多空间几何问题！