斜率截距公式
斜率截距公式是表示直线的最简单、 最常用的方法！学会了它，你就能轻松画出任何直线了。
什么是斜率截距公式？
斜率截距公式是表示一次函数（直线）的标准形式：
y = mx + b
其中：
- y：因变量（函数值）
- x：自变量
- m：斜率（slope），表示直线的倾斜程度
- b：y 轴截距（y-intercept），表示直线与 y 轴的交点
公式的组成部分
斜率（m）
斜率表示直线的倾斜程度：
- m > 0：直线向右上方倾斜（正斜率）
- m < 0：直线向右下方倾斜（负斜率）
- m = 0：直线是水平的（平行于 x 轴）
- |m| 越大：直线越陡峭
y 轴截距（b）
y 轴截距是直线与 y 轴交点的纵坐标：
- 当 x = 0 时，y = b
- 所以点 (0, b) 在直线上
如何求斜率？
方法 1：从两点求斜率
如果知道直线上两点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂)：
斜率 m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
例子：
- 点 A(1, 3) 和点 B(3, 7)
- 斜率 m = (7 - 3) / (3 - 1) = 4 / 2 = 2
方法 2：从公式中直接看
如果已经知道公式 y = mx + b，m 就是斜率：
y = 3x + 2
↑
斜率 m = 3
如何求 y 轴截距？
方法 1：从公式中直接看
如果已经知道公式 y = mx + b，b 就是 y 轴截距：
y = 3x + 2
↑
y 轴截距 b = 2
方法 2：代入 x = 0
在公式中，令 x = 0：
y = 3x + 2
y = 3×0 + 2
y = 2
所以 y 轴截距是 2，直线经过点 (0, 2)。
实际例子
例子 1：y = 3x + 2
- 斜率 m = 3：直线向右上方倾斜，每向右移动 1 个单位，向上移动 3 个单位
- y 轴截距 b = 2：直线与 y 轴交于点 (0, 2)
例子 2：y = (1/4)x + 1
- 斜率 m = 1/4：直线向右上方倾斜，但比较平缓
- y 轴截距 b = 1：直线与 y 轴交于点 (0, 1)
如何画直线？
步骤
- 找到 y 轴截距：在 y 轴上标出点 (0, b)
- 利用斜率：从 (0, b) 开始，按照斜率 m 移动
- 如果 m = 3，向右 1 个单位，向上 3 个单位
- 如果 m = -2，向右 1 个单位，向下 2 个单位
- 连接两点：画一条直线通过这两点
例子： 画 y = 2x + 1
- y 轴截距 b = 1，标出点 (0, 1)
- 斜率 m = 2，从 (0, 1) 向右 1 个单位，向上 2 个单位，得到点 (1, 3)
- 连接 (0, 1) 和 (1, 3)，延长得到直线
生活中的应用
速度问题
- 🚗 汽车以 60 公里/小时的速度行驶
- 公式：距离 = 60 × 时间
- 用 y = mx + b 表示：y = 60x（b = 0，从起点开始）
费用问题
- 💰 打车起步价 10 元，每公里 2 元
- 公式：费用 = 2 × 公里数 + 10
- 用 y = mx + b 表示：y = 2x + 10
- 斜率 m = 2（每公里 2 元）
- 截距 b = 10（起步价）
温度转换
- 🌡️ 摄氏度转华氏度：F = (9/5)C + 32
- 斜率 m = 9/5
- 截距 b = 32
特殊情况的斜率截距公式
水平线
y = b
- 斜率 m = 0
- 所有点的 y 坐标都是 b
- 例子：y = 5（一条水平线）
垂直线
x = a
- 斜率不存在（无穷大）
- 不能用 y = mx + b 表示
- 所有点的 x 坐标都是 a
- 例子：x = 3（一条垂直线）
经过原点的直线
y = mx
- y 轴截距 b = 0
- 直线经过原点 (0, 0)
- 例子：y = 2x
从标准形式转换为斜率截距公式
标准形式：Ax + By = C
转换步骤：
- 把含 y 的项移到一边
- 把 y 的系数化为 1
例子：
2x + 3y = 6
3y = -2x + 6 （移项）
y = (-2/3)x + 2 （除以 3）
所以斜率 m = -2/3，y 轴截距 b = 2。
小练习
- 在 y = 3x + 2 中，斜率和 y 轴截距分别是多少？
- 如果直线经过点 (0, 5) 和 (2, 9)，求斜率截距公式
- 画直线：y = 2x - 1
- 把 3x + 2y = 6 转换为斜率截距形式
- 应用题：打车起步价 8 元，每公里 3 元，写出费用公式
💡 小贴士：记住"y = mx + b"，m 是斜率（倾斜程度），b 是 y 轴截距（与 y 轴的交点）。掌握了这个公式，你就能轻松处理所有直线问题！