正弦、余弦、正切、余切

正弦、余弦、正切、余切是四个最基本的三角函数！深入理解它们，是学习三角函数的关键。

正弦函数（Sine）

定义

正弦函数（Sine Function）记作 $\sin\theta$，定义为：

$$\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$$

在单位圆中，$\sin\theta$ 是角度 $\theta$ 对应的点的 $y$ 坐标。

性质

• 定义域：所有实数
• 值域：$[-1, 1]$
• 周期：$2\pi$（或 $360°$）
• 奇函数：$\sin(-\theta) = -\sin\theta$

图像

正弦函数的图像是正弦曲线（正弦波）：

• 从 $0$ 开始，先上升后下降
• 在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处达到最大值 1
• 在 $x = \pi$ 处回到 0
• 在 $x = \frac{3\pi}{2}$ 处达到最小值 -1
• 在 $x = 2\pi$ 处回到 0，完成一个周期

特殊值

角度	弧度	$\sin\theta$
$0°$	$0$	$0$
$30°$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$
$45°$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$60°$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$90°$	$\frac{\pi}{2}$	$1$

余弦函数（Cosine）

定义

余弦函数（Cosine Function）记作 $\cos\theta$，定义为：

$$\cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$$

在单位圆中，$\cos\theta$ 是角度 $\theta$ 对应的点的 $x$ 坐标。

性质

• 定义域：所有实数
• 值域：$[-1, 1]$
• 周期：$2\pi$（或 $360°$）
• 偶函数：$\cos(-\theta) = \cos\theta$

图像

余弦函数的图像是余弦曲线（余弦波）：

• 从 $1$ 开始，先下降后上升
• 在 $x = 0$ 处达到最大值 1
• 在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处为 0
• 在 $x = \pi$ 处达到最小值 -1
• 在 $x = \frac{3\pi}{2}$ 处为 0
• 在 $x = 2\pi$ 处回到 1，完成一个周期

特殊值

角度	弧度	$\cos\theta$
$0°$	$0$	$1$
$30°$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$45°$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$60°$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{1}{2}$
$90°$	$\frac{\pi}{2}$	$0$

正切函数（Tangent）

定义

正切函数（Tangent Function）记作 $\tan\theta$，定义为：

$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$

性质

• 定义域：所有实数，除了 $\cos\theta = 0$ 的点（即 $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$，$k$ 为整数）
• 值域：所有实数
• 周期：$\pi$（或 $180°$）
• 奇函数：$\tan(-\theta) = -\tan\theta$

图像

正切函数的图像是正切曲线：

• 在每个周期内，从 $-\infty$ 上升到 $+\infty$
• 在 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 处有垂直渐近线
• 在 $x = 0$ 处为 0

特殊值

角度	弧度	$\tan\theta$
$0°$	$0$	$0$
$30°$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$45°$	$\frac{\pi}{4}$	$1$
$60°$	$\frac{\pi}{3}$	$\sqrt{3}$
$90°$	$\frac{\pi}{2}$	不存在（无穷大）

余切函数（Cotangent）

定义

余切函数（Cotangent Function）记作 $\cot\theta$，定义为：

$$\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}} = \frac{1}{\tan\theta}$$

性质

• 定义域：所有实数，除了 $\sin\theta = 0$ 的点（即 $\theta = k\pi$，$k$ 为整数）
• 值域：所有实数
• 周期：$\pi$（或 $180°$）
• 奇函数：$\cot(-\theta) = -\cot\theta$

图像

余切函数的图像是余切曲线：

• 在每个周期内，从 $+\infty$ 下降到 $-\infty$
• 在 $x = k\pi$ 处有垂直渐近线
• 在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处为 0

特殊值

角度	弧度	$\cot\theta$
$0°$	$0$	不存在（无穷大）
$30°$	$\frac{\pi}{6}$	$\sqrt{3}$
$45°$	$\frac{\pi}{4}$	$1$
$60°$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$90°$	$\frac{\pi}{2}$	$0$

函数之间的关系

基本关系

$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$ $$\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\tan\theta}$$

平方和关系

$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$

推导：在单位圆中，$x^2 + y^2 = 1$，而 $x = \cos\theta$，$y = \sin\theta$，所以 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$。

和角公式

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$$

生活中的应用

物理

• ⚡ 波动：描述正弦波和余弦波
• 🔬 振动：描述简谐振动

工程

• 🏗️ 信号处理：处理周期信号
• ⚙️ 控制系统：分析控制系统

计算机

• 💻 图形学：绘制周期图形
• 🎮 游戏开发：模拟周期性运动

常见错误

错误 1：混淆正弦和余弦

• 正弦：对边比斜边
• 余弦：邻边比斜边

错误 2：正切函数定义域错误

正切函数在 $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 处无定义。

错误 3：特殊值记忆错误

要准确记忆特殊角的三角函数值。

小练习

1. 求 $\sin 30°$、$\cos 60°$、$\tan 45°$ 的值
2. 如果 $\sin\theta = \frac{3}{5}$，且 $\theta$ 是锐角，求 $\cos\theta$ 和 $\tan\theta$
3. 验证：$\sin^2 30° + \cos^2 30° = 1$
4. 应用题：一个直角三角形，一个锐角是 $30°$，斜边是 10，求对边和邻边

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💡 小贴士：正弦、余弦、正切、余切是四个最基本的三角函数。记住：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$，$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$。掌握这些函数，你就能解决很多三角函数问题！