相似与全等

相似和全等是几何中重要的概念！理解它们，能帮助我们更好地理解图形之间的关系。

全等

什么是全等？

全等（Congruent）是两个图形完全重合，形状和大小都相同。

表示：$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ 或 $\square ABCD \cong \square EFGH$

全等的性质

如果两个图形全等，则：

• 对应边相等：$AB = DE$, $BC = EF$, $CA = FD$
• 对应角相等：$\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$
• 周长相等：$P_1 = P_2$
• 面积相等：$S_1 = S_2$

全等的判定

三角形全等判定

1. SSS（边边边）：三边对应相等
2. SAS（边角边）：两边和夹角对应相等
3. ASA（角边角）：两角和夹边对应相等
4. AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等
5. HL（斜边直角边）：直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等

四边形全等判定

一般需要更多的条件，如：

• 四边对应相等，且一个角对应相等
• 三边和两个角对应相等

相似

什么是相似？

相似（Similar）是两个图形形状相同，但大小可能不同。

表示：$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ 或 $\square ABCD \sim \square EFGH$

相似的性质

如果两个图形相似，则：

• 对应边成比例：$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = k$（$k$ 是相似比）
• 对应角相等：$\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$
• 周长比等于相似比：$\frac{P_1}{P_2} = k$
• 面积比等于相似比的平方：$\frac{S_1}{S_2} = k^2$

相似的判定

三角形相似判定

1. AA（角角）：两个角对应相等
2. SAS（边角边）：两边对应成比例，且夹角相等
3. SSS（边边边）：三边对应成比例

多边形相似判定

• 对应角相等
• 对应边成比例

全等与相似的关系

关系

全等是特殊的相似（相似比 $k = 1$）。

如果两个图形全等，则它们一定相似；但如果两个图形相似，它们不一定全等。

对比

特征	全等	相似
形状	相同	相同
大小	相同	可能不同
对应边	相等	成比例
对应角	相等	相等
面积	相等	比 = $k^2$
相似比	$k = 1$	$k$ 可以是任意正数

相似比的应用

周长比

如果两个图形相似，相似比为 $k$，则：

$\frac{\text{周长}_1}{\text{周长}_2} = k$

例子：

• 如果相似比 $k = 2$，则大图形的周长是小图形的 2 倍

面积比

如果两个图形相似，相似比为 $k$，则：

$\frac{\text{面积}_1}{\text{面积}_2} = k^2$

例子：

• 如果相似比 $k = 2$，则大图形的面积是小图形的 $2^2 = 4$ 倍
• 如果相似比 $k = 3$，则大图形的面积是小图形的 $3^2 = 9$ 倍

体积比（立体图形）

如果两个立体图形相似，相似比为 $k$，则：

$\frac{\text{体积}_1}{\text{体积}_2} = k^3$

生活中的应用

地图

• 🗺️ 比例尺：地图是实际地形的相似图形
• 📏 测量：用相似关系测量实际距离

摄影

• 📷 照片：照片是实物的相似图形
• 🎬 电影：电影画面是实物的相似图形

建筑

• 🏗️ 模型：建筑模型是实际建筑的相似图形
• 📐 设计：设计图是实际建筑的相似图形

常见错误

错误 1：全等和相似混淆

• 全等：形状和大小都相同
• 相似：形状相同，大小可能不同

错误 2：面积比错误

❌ 错误：面积比 = 相似比
✅ 正确：面积比 = 相似比的平方

错误 3：判定条件不充分

要满足完整的判定条件才能确定全等或相似。

小练习

1. 如果 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$，相似比是 3，且 $AB = 5$，求 $DE$
2. 如果两个相似图形的相似比是 2，求它们的面积比
3. 判断：如果两个三角形的三个角对应相等，它们是否一定全等？
4. 应用题：一个地图的比例尺是 1:10000，地图上 1 cm 代表实际多少米？

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💡 小贴士：全等是"完全相同"，相似是"形状相同"。记住：面积比 = 相似比的平方，体积比 = 相似比的立方。掌握全等和相似的判定，你就能解决很多几何问题！