信号处理基础

信号处理是分析和处理信号的方法！理解信号处理，能帮助我们处理各种信号。

什么是信号？

信号（Signal）是随时间或空间变化的物理量。

简单理解

信号就像"信息载体"：

• 声音信号：声音的振动
• 图像信号：图像的像素值
• 电信号：电压或电流

分类

连续信号和离散信号

• 连续信号：时间连续，值连续
• 离散信号：时间离散，值离散

周期信号和非周期信号

• 周期信号：$x(t + T) = x(t)$（$T$ 是周期）
• 非周期信号：不满足周期条件

信号的表示

时域表示

时域表示是信号随时间的变化。

例子：正弦信号

$x(t) = A \sin(2\pi ft + \phi)$

其中：

• $A$ 是振幅
• $f$ 是频率
• $\phi$ 是相位

频域表示

频域表示是信号的频率成分。

傅里叶变换将时域信号转换到频域：

$X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i\omega t} dt$

信号的基本操作

时移

时移：$y(t) = x(t - t_0)$

信号在时间轴上平移。

时域缩放

时域缩放：$y(t) = x(at)$

• $a > 1$：压缩
• $0 < a < 1$：扩展

幅度缩放

幅度缩放：$y(t) = A x(t)$

改变信号的幅度。

相加

相加：$y(t) = x_1(t) + x_2(t)$

两个信号相加。

相乘

相乘：$y(t) = x_1(t) x_2(t)$

两个信号相乘（调制）。

卷积

定义

卷积（Convolution）是两个信号的运算：

$y(t) = x_1(t) * x_2(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x_1(\tau) x_2(t - \tau) d\tau$

性质

• 交换律：$x_1 * x_2 = x_2 * x_1$
• 结合律：$(x_1 * x_2) * x_3 = x_1 * (x_2 * x_3)$
• 分配律：$x_1 * (x_2 + x_3) = x_1 * x_2 + x_1 * x_3$

卷积定理

时域卷积对应频域乘积：

$\mathcal{F}[x_1 * x_2] = X_1(\omega) X_2(\omega)$

采样

定义

采样（Sampling）是将连续信号转换为离散信号的过程。

采样定理

奈奎斯特采样定理（Nyquist Sampling Theorem）：

如果信号的最高频率为 $f_{\max}$，则采样频率 $f_s$ 必须满足：

$f_s \ge 2 f_{\max}$

否则会出现混叠（Aliasing）。

例子

例子：音频信号最高频率 20 kHz，采样频率至少 40 kHz（CD 质量：44.1 kHz）

滤波

定义

滤波（Filtering）是去除信号中不需要的成分的过程。

低通滤波

低通滤波器（Low-pass Filter）保留低频成分，去除高频成分。

应用：去除噪声、平滑信号

高通滤波

高通滤波器（High-pass Filter）保留高频成分，去除低频成分。

应用：边缘检测、去除直流分量

带通滤波

带通滤波器（Band-pass Filter）保留特定频率范围的成分。

应用：提取特定频率的信号

信号处理的应用

音频处理

• 🎵 音乐处理：处理音乐信号
• 🔊 语音识别：识别语音信号

图像处理

• 🖼️ 图像增强：增强图像质量
• 🔍 图像识别：识别图像内容

通信

• 📡 信号传输：传输信号
• 📻 调制解调：调制和解调信号

常见错误

错误 1：采样频率不足

采样频率不足会导致混叠。

错误 2：滤波器设计不当

滤波器设计不当可能影响信号质量。

错误 3：时域和频域混淆

要清楚时域和频域的区别和联系。

小练习

1. 说明连续信号和离散信号的区别
2. 计算 $x(t) = \sin(2\pi t)$ 的周期
3. 说明奈奎斯特采样定理的意义
4. 应用题：在音频处理中，如何选择合适的采样频率？

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💡 小贴士：信号处理是分析和处理信号的方法。记住：时域表示信号随时间的变化，频域表示信号的频率成分，采样频率至少是信号最高频率的 2 倍。掌握信号处理，你就能处理各种信号！