集合论

集合是数学的基础！理解集合的概念，你就能更好地理解数学的各个分支。

什么是集合？

集合（Set）是具有某种共同特征的事物的总体。

简单理解

集合就像"容器"：

• 里面装着具有共同特征的东西
• 每个东西叫做元素（Element）
• 元素要么在集合里，要么不在集合里

例子

例子 1：自然数集合

• 包含所有自然数：$1, 2, 3, 4, 5, \ldots$

例子 2：班级学生的集合

• 包含班级里的所有学生

例子 3：偶数的集合

• 包含所有偶数：$2, 4, 6, 8, \ldots$

集合的表示方法

方法 1：列举法

把集合中的所有元素一一列举出来，用大括号 $\{\}$ 括起来。

例子：

• $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$（包含 1, 2, 3, 4, 5 的集合）
• $B = \{a, b, c\}$（包含 a, b, c 的集合）
• $C = \{\text{苹果}, \text{香蕉}, \text{橙子}\}$（包含三种水果的集合）

方法 2：描述法

用描述元素共同特征的方法表示集合。

一般形式：$\{x | P(x)\}$ 或 $\{x : P(x)\}$

读作："满足条件 $P(x)$ 的所有 $x$ 的集合"

例子：

• $A = \{x | x > 0\}$（所有大于 0 的数的集合）
• $B = \{x | x \text{ 是偶数}\}$（所有偶数的集合）
• $C = \{x | x^2 < 10\}$（所有平方小于 10 的数的集合）

方法 3：文氏图（Venn图）

用图形表示集合，用圆圈或椭圆表示集合，元素用点表示。

优点：直观、形象，便于理解集合关系

集合的符号

基本符号

• $\in$：属于，表示元素属于集合
  • 例如：$a \in A$ 表示 $a$ 是集合 $A$ 的元素
• $\notin$：不属于，表示元素不属于集合
  • 例如：$b \notin A$ 表示 $b$ 不是集合 $A$ 的元素
• $\subseteq$：子集，表示一个集合包含在另一个集合中
  • 例如：$A \subseteq B$ 表示 $A$ 是 $B$ 的子集
• $\subset$：真子集，表示 $A$ 是 $B$ 的子集且 $A \neq B$
• $\emptyset$ 或 $\{\}$：空集，不包含任何元素的集合

常用集合符号

• $\mathbb{N}$：自然数集 $\{1, 2, 3, \ldots\}$
• $\mathbb{Z}$：整数集 $\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$
• $\mathbb{Q}$：有理数集
• $\mathbb{R}$：实数集
• $\mathbb{C}$：复数集

集合的分类

按元素个数分类

有限集

有限集是元素个数有限的集合。

例子：

• $A = \{1, 2, 3\}$（3 个元素）
• $B = \{a, b, c, d\}$（4 个元素）

无限集

无限集是元素个数无限的集合。

例子：

• $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$（自然数集）
• $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$（整数集）

空集

空集是不包含任何元素的集合，记作 $\emptyset$ 或 $\{\}$。

注意：$\emptyset$ 和 $\{\emptyset\}$ 不同：

• $\emptyset$：空集（没有元素）
• $\{\emptyset\}$：包含空集的集合（有 1 个元素，这个元素是空集）

按元素类型分类

数集

数集是元素都是数的集合。

例子：

• $\{1, 2, 3\}$（自然数集的一部分）
• $\{x | x > 0\}$（正数集）

点集

点集是元素都是点的集合。

例子：

• 平面上的点的集合
• 直线上的点的集合

子集

定义

如果集合 $A$ 的每个元素都是集合 $B$ 的元素，则 $A$ 是 $B$ 的子集，记作 $A \subseteq B$。

数学表示：$A \subseteq B$ 当且仅当 $\forall x (x \in A \to x \in B)$

例子

例子 1：

• $A = \{1, 2\}$, $B = \{1, 2, 3\}$
• $A \subseteq B$（$A$ 是 $B$ 的子集）

例子 2：

• $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{1, 2, 3\}$
• $A \subseteq B$（集合可以是自己的子集）

真子集

如果 $A \subseteq B$ 且 $A \neq B$，则 $A$ 是 $B$ 的真子集，记作 $A \subset B$。

例子：

• $A = \{1, 2\}$, $B = \{1, 2, 3\}$
• $A \subset B$（$A$ 是 $B$ 的真子集）

子集的性质

1. $\emptyset \subseteq A$（空集是任何集合的子集）
2. $A \subseteq A$（集合是自己的子集）
3. 如果 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq C$，则 $A \subseteq C$（传递性）

集合的相等

定义

如果 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$，则 $A = B$（两个集合相等）。

理解：两个集合相等当且仅当它们包含完全相同的元素。

例子

例子：

• $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{3, 2, 1\}$
• $A = B$（元素相同，只是顺序不同）

幂集

定义

幂集（Power Set）是集合 $A$ 的所有子集组成的集合，记作 $\mathcal{P}(A)$ 或 $2^A$。

例子

例子：$A = \{1, 2\}$

$\mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$

注意：

• 空集 $\emptyset$ 是任何集合的子集
• 集合本身也是自己的子集
• 如果 $A$ 有 $n$ 个元素，则 $\mathcal{P}(A)$ 有 $2^n$ 个元素

生活中的应用

分类

• 📚 图书分类：按主题分类的图书集合
• 🏷️ 标签系统：用集合表示标签

数据库

• 💾 数据表：表中的每一行可以看作一个元素
• 📊 查询结果：查询结果是一个集合

编程

• 💻 数据结构：集合（Set）是一种数据结构
• 🔢 数组：可以看作有序集合

常见错误

错误 1：混淆 $\in$ 和 $\subseteq$

• $a \in A$：$a$ 是 $A$ 的元素
• $B \subseteq A$：$B$ 是 $A$ 的子集

错误 2：空集的性质

空集 $\emptyset$ 是任何集合的子集，但空集本身不是空集的元素。

错误 3：集合的相等

两个集合相等只看元素是否相同，不看顺序和表示方法。

小练习

1. 用列举法表示集合 $\{x | x \text{ 是小于 5 的自然数}\}$
2. 判断：$\{1, 2\} \subseteq \{1, 2, 3\}$ 是否正确？
3. 求集合 $\{a, b\}$ 的幂集
4. 判断：$\emptyset \in \{\emptyset\}$ 是否正确？

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💡 小贴士：集合是数学的基础。记住：$\in$ 表示"属于"（元素和集合的关系），$\subseteq$ 表示"包含于"（集合和集合的关系）！