级数

级数是无穷多项的和！理解级数，能帮助我们研究函数的性质和近似计算。

什么是级数？

级数（Series）是无穷多个数的和。

简单理解

级数就像"无限求和"：

• 把无穷多个数加起来
• 可能收敛（和是有限值）
• 可能发散（和是无穷大）

定义

无穷级数：

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$

其中 $a_n$ 是第 $n$ 项。

部分和

部分和（Partial Sum）是前 $n$ 项的和：

$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \sum_{i=1}^{n} a_i$

级数的收敛性

收敛

如果部分和序列 $\{S_n\}$ 有极限 $S$，则级数收敛（Convergent），和为 $S$：

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} S_n = S$

发散

如果部分和序列 $\{S_n\}$ 没有极限，则级数发散（Divergent）。

例子

例子 1：几何级数 $\sum_{n=0}^{\infty} r^n = 1 + r + r^2 + r^3 + \cdots$

• 如果 $|r| < 1$，则级数收敛，和为 $\frac{1}{1-r}$
• 如果 $|r| \ge 1$，则级数发散

例子 2：调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots$

• 这个级数发散（虽然每一项都趋于 0）

正项级数

定义

正项级数是所有项都是非负的级数。

判别法

比较判别法

如果 $0 \le a_n \le b_n$，且 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛。

如果 $0 \le a_n \le b_n$，且 $\sum a_n$ 发散，则 $\sum b_n$ 发散。

比值判别法

如果 $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L$，则：

• 如果 $L < 1$，级数收敛
• 如果 $L > 1$，级数发散
• 如果 $L = 1$，无法判断

根值判别法

如果 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L$，则：

• 如果 $L < 1$，级数收敛
• 如果 $L > 1$，级数发散
• 如果 $L = 1$，无法判断

交错级数

定义

交错级数（Alternating Series）是正负项交替的级数。

形式：

$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots$

其中 $a_n > 0$。

莱布尼茨判别法

如果交错级数满足：

1. $a_n \ge a_{n+1}$（单调递减）
2. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

则级数收敛。

例子：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$

• 这个级数收敛（满足莱布尼茨条件）

幂级数

定义

幂级数（Power Series）是形如：

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n = a_0 + a_1(x - c) + a_2(x - c)^2 + \cdots$

的级数，其中 $c$ 是中心，$a_n$ 是系数。

收敛半径

收敛半径（Radius of Convergence）$R$ 是使级数收敛的 $x$ 值的范围。

• 如果 $|x - c| < R$，级数收敛
• 如果 $|x - c| > R$，级数发散
• 如果 $|x - c| = R$，需要单独判断

计算方法

使用比值判别法：

$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

例子

例子：$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$

• 这是几何级数
• 收敛半径 $R = 1$
• 如果 $|x| < 1$，和为 $\frac{1}{1-x}$

泰勒级数

定义

泰勒级数（Taylor Series）是函数在某个点的幂级数展开。

函数 $f(x)$ 在 $x = a$ 处的泰勒级数：

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$

$= f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots$

麦克劳林级数

麦克劳林级数（Maclaurin Series）是 $a = 0$ 时的泰勒级数：

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

常见函数的泰勒级数

指数函数

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

正弦函数

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

余弦函数

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

几何级数

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \quad (|x| < 1)$

级数的应用

近似计算

用级数的前几项近似函数值。

例子：计算 $e^{0.1}$

$e^{0.1} \approx 1 + 0.1 + \frac{0.1^2}{2!} + \frac{0.1^3}{3!} = 1 + 0.1 + 0.005 + 0.000167 = 1.105167$

函数表示

用级数表示函数，便于分析和计算。

生活中的应用

物理

• ⚡ 波动分析：用级数分析波动
• 🔬 量子力学：用级数展开波函数

工程

• 🏗️ 信号处理：用级数处理信号
• ⚙️ 控制系统：用级数分析系统

科学

• 🔬 数值计算：用级数进行数值计算
• 📊 数据分析：用级数分析数据

常见错误

错误 1：收敛和发散判断错误

要正确使用判别法判断级数的收敛性。

错误 2：收敛半径计算错误

要正确计算幂级数的收敛半径。

错误 3：级数和函数值混淆

级数的和是极限值，不一定是函数值。

小练习

1. 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是否收敛
2. 求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ 的收敛半径
3. 写出 $e^x$ 的麦克劳林级数
4. 应用题：用泰勒级数近似计算 $\sin(0.1)$

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💡 小贴士：级数是无穷多项的和。记住：几何级数 $\sum r^n$ 在 $|r| < 1$ 时收敛，和为 $\frac{1}{1-r}$。掌握级数的收敛性判断，你就能研究函数的性质！