数列的求和

数列的求和是数列的重要内容！掌握了求和方法，你就能快速计算数列的和。

什么是数列的求和？

数列的求和是计算数列前 $n$ 项的和，记作 $S_n$。

$$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$$

常见数列的求和公式

自然数数列

$$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$$

推导（配对法）：

• $S = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$
• $S = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 1$（倒序）
• 两式相加：$2S = n(n + 1)$
• 所以 $S = \frac{n(n + 1)}{2}$

例子：

• $1 + 2 + 3 + \cdots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$

平方数数列

$$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$

例子：

• $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 10^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385$

立方数数列

$$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left[\frac{n(n + 1)}{2}\right]^2$$

例子：

• $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + 5^3 = \left[\frac{5 \times 6}{2}\right]^2 = 15^2 = 225$

等差数列

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

或

$$S_n = \frac{n[2a_1 + (n - 1)d]}{2}$$

例子：

• 等差数列 1, 3, 5, 7, 9 的前 5 项和
• $S_5 = \frac{5(1 + 9)}{2} = \frac{5 \times 10}{2} = 25$

等比数列

当 $q \neq 1$ 时：$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$

当 $q = 1$ 时：$S_n = na_1$

例子：

• 等比数列 2, 4, 8, 16, 32 的前 5 项和
• $a_1 = 2$, $q = 2$, $n = 5$
• $S_5 = \frac{2(1 - 2^5)}{1 - 2} = \frac{2(1 - 32)}{-1} = 62$

求和方法

方法 1：公式法

如果数列是已知类型（如等差数列、等比数列），直接套用公式。

例子：

• 等差数列：用 $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$
• 等比数列：用 $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$

方法 2：分组求和

把数列分成几组，分别求和，再相加。

例子：

• 求 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10$
• 分组：$(1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6)$
• $= 11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 5 \times 11 = 55$

方法 3：错位相减法

适用于形如 $\{nq^n\}$ 的数列。

例子：求 $S = 1 \times 2 + 2 \times 2^2 + 3 \times 2^3 + \cdots + n \times 2^n$

步骤：

1. $S = 1 \times 2 + 2 \times 2^2 + 3 \times 2^3 + \cdots + n \times 2^n$
2. $2S = 1 \times 2^2 + 2 \times 2^3 + \cdots + (n-1) \times 2^n + n \times 2^{n+1}$
3. 两式相减：$-S = 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n - n \times 2^{n+1}$
4. 化简：$-S = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} - n \times 2^{n+1} = 2^{n+1} - 2 - n \times 2^{n+1}$
5. 所以：$S = (n - 1) \times 2^{n+1} + 2$

方法 4：裂项相消法

把每一项拆成两项的差，中间项相互抵消。

例子：求 $S = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}$

步骤：

1. 注意到 $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
2. 所以 $S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left[\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right]$
3. 展开：$S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
4. 中间项抵消：$S = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

方法 5：倒序相加法

适用于某些特殊数列。

例子：等差数列求和（见等差数列章节）

特殊数列的求和

调和数列

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$$

这个和没有简单的公式，当 $n$ 很大时，近似等于 $\ln n + \gamma$（$\gamma$ 是欧拉常数）。

交错数列

$$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + (-1)^{n+1}\frac{1}{n}$$

这个和当 $n \to \infty$ 时，收敛到 $\ln 2$。

生活中的应用

累计问题

• 💰 每月存入固定金额，$n$ 个月后总金额
• 📊 累计销售额、累计产量等

分期付款

• 💳 分期付款的总金额计算
• 🏠 房贷的总利息计算

资源分配

• 📦 按某种规律分配资源，求总资源
• ⚙️ 工程进度累计

常见错误

错误 1：公式使用错误

要分清等差数列和等比数列的求和公式。

错误 2：项数计算错误

要仔细计算项数 $n$。

错误 3：公比 $q = 1$ 的情况

当 $q = 1$ 时，等比数列求和要用 $S_n = na_1$。

小练习

1. 计算：$1 + 2 + 3 + \cdots + 50$
2. 计算：$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 10^2$
3. 计算等差数列 3, 7, 11, 15, ... 的前 10 项和
4. 计算等比数列 2, 6, 18, 54, ... 的前 6 项和

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💡 小贴士：数列求和的关键是"找对方法"。如果是等差数列或等比数列，直接用公式；如果是特殊数列，考虑分组、错位相减、裂项相消等方法！