数列的基本概念

在学习各种具体数列之前，让我们先理解数列的基本概念，这是理解所有数列的基础！

什么是数列？

数列是按一定顺序排列的一列数。

表示方法

数列通常用 $\{a_n\}$ 或 $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ 表示。

其中：

• $a_n$：第 n 项（也叫通项）
• $n$：项数（位置编号，从 1 开始）
• $a_1$：首项（第 1 项）
• $a_2$：第 2 项
• $a_n$：第 n 项（一般项）

例子

例子 1：自然数数列

1, 2, 3, 4, 5, ...

• $a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_3 = 3$, $\ldots$, $a_n = n$

例子 2：偶数数列

2, 4, 6, 8, 10, ...

• $a_1 = 2$, $a_2 = 4$, $a_3 = 6$, $\ldots$, $a_n = 2n$

例子 3：平方数数列

1, 4, 9, 16, 25, ...

• $a_1 = 1$, $a_2 = 4$, $a_3 = 9$, $\ldots$, $a_n = n^2$

数列的分类

按项数分类

有穷数列

项数有限的数列。

例子：

1, 2, 3, 4, 5

• 只有 5 项

无穷数列

项数无限的数列。

例子：

1, 2, 3, 4, 5, ...

• 有无限多项

按单调性分类

递增数列

如果对于所有 $n$，都有 $a_{n+1} > a_n$，则数列是递增数列。

例子：

1, 2, 3, 4, 5, ...

递减数列

如果对于所有 $n$，都有 $a_{n+1} < a_n$，则数列是递减数列。

例子：

10, 8, 6, 4, 2, ...

常数列

如果对于所有 $n$，都有 $a_{n+1} = a_n$，则数列是常数列。

例子：

3, 3, 3, 3, 3, ...

摆动数列

有增有减的数列。

例子：

1, -1, 1, -1, 1, ...

按有界性分类

有界数列

如果存在常数 $M$，使得 $|a_n| \leq M$ 对所有 $n$ 成立，则数列是有界数列。

例子：

1, 1/2, 1/3, 1/4, ...

• 所有项都 ≤ 1

无界数列

不存在这样的常数 M，则数列是无界数列。

例子：

1, 2, 3, 4, 5, ...

• 可以无限增大

通项公式

通项公式是用 $n$ 表示第 $n$ 项的公式，记作 $a_n = f(n)$。

例子

例子 1：自然数数列

• 通项公式：$a_n = n$

例子 2：偶数数列

• 通项公式：$a_n = 2n$

例子 3：平方数数列

• 通项公式：$a_n = n^2$

例子 4：奇数数列

• 通项公式：$a_n = 2n - 1$

求通项公式的方法

1. 观察规律：观察前几项，找出规律
2. 列出关系：找出 aₙ 与 n 的关系
3. 验证：用公式计算几项，验证是否正确

递推公式

递推公式是用前一项（或前几项）表示后一项的公式。

例子

例子 1：斐波那契数列

• 递推公式：$a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$（$n \geq 3$）

例子 2：$a_n = 2a_{n-1} + 1$

• 如果 $a_1 = 1$，则 $a_2 = 3$, $a_3 = 7$, $a_4 = 15$, $\ldots$

例子 3：$a_n = a_{n-1} + 2$

• 如果 $a_1 = 1$，则 $a_2 = 3$, $a_3 = 5$, $a_4 = 7$, $\ldots$（奇数数列）

前 n 项和

前 n 项和是数列前 $n$ 项的和，记作 $S_n$。

$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$

例子

例子 1：自然数数列 $S_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

例子 2：平方数数列 $S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

数列与函数的关系

数列可以看作定义在正整数集上的函数：

• 定义域：正整数集 $\{1, 2, 3, \ldots\}$
• 值域：数列的各项
• 对应关系：$n \to a_n$

生活中的数列

时间序列

• 📅 每天的温度记录
• 📊 每月的销售额
• 📈 每年的 GDP 数据

自然现象

• 🌊 海浪的高度
• 🍃 树叶的生长
• 🐚 贝壳的螺旋

数学问题

• 💰 复利计算
• 📐 几何问题
• 🔢 数论问题

常见错误

错误 1：混淆项数和项的值

❌ 错误：第 5 项是 5
✅ 正确：要看具体数列，如果是自然数数列，第 5 项是 5；如果是偶数数列，第 5 项是 10

错误 2：通项公式错误

要仔细验证通项公式是否正确。

错误 3：递推公式的初始条件

递推公式通常需要给出初始条件（前几项的值）。

小练习

1. 写出数列 2, 4, 6, 8, 10, ... 的通项公式
2. 写出数列 1, 4, 9, 16, 25, ... 的通项公式
3. 如果 $a_1 = 1$, $a_n = 2a_{n-1} + 1$，求 $a_3$
4. 计算数列 1, 2, 3, 4, 5 的前 5 项和

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💡 小贴士：数列是按规律排列的一列数。掌握通项公式和递推公式是理解数列的关键。多观察、多思考，你会发现数列的规律！