旋转矩阵

旋转矩阵是描述旋转的矩阵！理解旋转矩阵，能帮助我们进行图形变换和空间旋转。

什么是旋转矩阵？

旋转矩阵（Rotation Matrix）是描述旋转的矩阵，用于将向量或点绕某个轴旋转一定角度。

简单理解

旋转矩阵就像"旋转的规则"：

• 用矩阵表示旋转
• 矩阵乘以向量，得到旋转后的向量
• 旋转矩阵是正交矩阵

二维旋转矩阵

绕原点旋转

绕原点逆时针旋转 $\theta$ 角的旋转矩阵：

$$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$$

点的旋转

点 $(x, y)$ 绕原点旋转 $\theta$ 角后的坐标：

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

即：

$x' = x\cos\theta - y\sin\theta$

$y' = x\sin\theta + y\cos\theta$

例子

例子：点 $(1, 0)$ 绕原点旋转 $90°$（$\frac{\pi}{2}$）

$$R\left(\frac{\pi}{2}\right) = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

所以旋转后的点是 $(0, 1)$。

三维旋转矩阵

绕 x 轴旋转

绕 x 轴旋转 $\theta$ 角的旋转矩阵：

$$R_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$$

绕 y 轴旋转

绕 y 轴旋转 $\theta$ 角的旋转矩阵：

$$R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix}$$

绕 z 轴旋转

绕 z 轴旋转 $\theta$ 角的旋转矩阵：

$$R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

复合旋转

多个旋转可以组合：

$$R = R_z(\gamma) R_y(\beta) R_x(\alpha)$$

注意：旋转的顺序很重要，不同的顺序得到不同的结果。

旋转矩阵的性质

性质 1：正交性

旋转矩阵是正交矩阵：

$$R^T R = RR^T = I$$

即 $R^{-1} = R^T$。

性质 2：行列式

旋转矩阵的行列式：

$$\det(R) = 1$$

性质 3：保持长度

旋转不改变向量的长度：

$$|R\vec{v}| = |\vec{v}|$$

性质 4：保持角度

旋转不改变向量之间的夹角。

欧拉角

定义

欧拉角（Euler Angles）是用三个角度描述三维旋转的方法。

表示

• $\alpha$：绕 x 轴的旋转角（Roll，翻滚）
• $\beta$：绕 y 轴的旋转角（Pitch，俯仰）
• $\gamma$：绕 z 轴的旋转角（Yaw，偏航）

旋转矩阵

$$R = R_z(\gamma) R_y(\beta) R_x(\alpha)$$

四元数

四元数（Quaternion）是另一种描述旋转的方法，在某些应用中比旋转矩阵更高效。

生活中的应用

计算机图形学

• 💻 3D 图形：用旋转矩阵进行 3D 图形变换
• 🎮 游戏开发：用旋转矩阵进行游戏开发

机器人

• 🤖 机器人控制：用旋转矩阵控制机器人的姿态
• 🚁 无人机：用旋转矩阵控制无人机的姿态

航空航天

• ✈️ 飞行器：用旋转矩阵描述飞行器的姿态
• 🚀 航天器：用旋转矩阵描述航天器的姿态

常见错误

错误 1：旋转方向混淆

要分清顺时针和逆时针旋转。

错误 2：旋转顺序错误

多个旋转的顺序很重要，不能随意改变。

错误 3：角度单位混淆

要分清角度和弧度，注意换算关系。

小练习

1. 写出绕原点旋转 $45°$ 的二维旋转矩阵
2. 点 $(1, 1)$ 绕原点旋转 $90°$ 后的坐标是什么？
3. 写出绕 z 轴旋转 $30°$ 的三维旋转矩阵
4. 应用题：在计算机图形学中，如何用旋转矩阵实现物体的旋转？

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💡 小贴士：旋转矩阵是描述旋转的矩阵。记住：旋转矩阵是正交矩阵，$\det(R) = 1$，$R^{-1} = R^T$。掌握旋转矩阵，你就能进行图形变换和空间旋转！