分式方程
分式方程是分母中含有未知数的方程。解分式方程的关键是"去分母"，但要特别注意检验！
什么是分式方程？
分式方程是分母中含有未知数的方程。
例子：
1/(x + 1) = 2
(x - 1)/(x + 2) = 3
1/x + 1/(x + 1) = 1
解分式方程的方法
基本步骤
- 找最简公分母（所有分母的最小公倍数）
- 去分母（两边同时乘以最简公分母）
- 解整式方程（得到一元一次或一元二次方程）
- 检验（⚠️ 非常重要！把解代入原方程，检查分母是否为 0）
例子 1：简单分式方程
1/(x - 2) = 3
步骤：
- 最简公分母是 (x - 2)
- 两边同时乘以 (x - 2)：
1/(x - 2) × (x - 2) = 3 × (x - 2)
1 = 3(x - 2) - 展开：1 = 3x - 6
- 移项：3x = 7
- 求解：x = 7/3
- 检验：
- 分母 x - 2 = 7/3 - 2 = 7/3 - 6/3 = 1/3 ≠ 0 ✓
- 左边：1/(1/3) = 3
- 右边：3
- 左边 = 右边 ✓
- 所以 x = 7/3 是方程的解
例子 2：复杂分式方程
(x - 1)/(x + 2) = 2
步骤：
- 最简公分母是 (x + 2)
- 两边同时乘以 (x + 2)：
(x - 1)/(x + 2) × (x + 2) = 2 × (x + 2)
x - 1 = 2(x + 2) - 展开：x - 1 = 2x + 4
- 移项：x - 2x = 4 + 1
- 化简：-x = 5
- 求解：x = -5
- 检验：
- 分母 x + 2 = -5 + 2 = -3 ≠ 0 ✓
- 左边：(-5 - 1)/(-5 + 2) = -6/(-3) = 2
- 右边：2
- 左边 = 右边 ✓
- 所以 x = -5 是方程的解
例子 3：多个分式
1/x + 1/(x + 1) = 1
步骤：
- 最简公分母是 x(x + 1)
- 两边同时乘以 x(x + 1)：
[1/x + 1/(x + 1)] × x(x + 1) = 1 × x(x + 1) - 展开左边：
1/x × x(x + 1) + 1/(x + 1) × x(x + 1)
= (x + 1) + x
= 2x + 1 - 所以：2x + 1 = x(x + 1)
- 展开右边：2x + 1 = x² + x
- 移项：x² + x - 2x - 1 = 0
- 化简：x² - x - 1 = 0
- 用公式法求解：
x = [1 ± √(1 + 4)] / 2
x = [1 ± √5] / 2 - 检验：
- x = (1 + √5)/2：分母不为 0 ✓
- x = (1 - √5)/2：分母不为 0 ✓
- （具体验证过程略）
- 所以解是：x = (1 ± √5)/2
增根问题
什么是增根？
增根是在去分母过程中产生的，使原方程分母为 0 的"假解"。
为什么会产生增根？
去分母时，我们两边同时乘以一个可能为 0 的表达式。如果这个表达式的值为 0，就会产生增根。
例子：识别增根
1/(x - 1) = 2/(x - 1)
错误解法：
- 两边同时乘以 (x - 1)：1 = 2
- 这显然不成立
正确解法：
- 移项：1/(x - 1) - 2/(x - 1) = 0
- 合并：-1/(x - 1) = 0
- 这不可能成立（分子不为 0，分数不可能为 0）
- 所以原方程无解
注意：如果直接去分母得到 1 = 2，说明原方程无解，而不是 x = 1 是解（x = 1 会使分母为 0，是增根）。
检验的重要性
检验步骤
- 把解代入原方程的所有分母
- 检查是否有分母为 0
- 如果有分母为 0，这个解是增根，要舍去
- 如果所有分母都不为 0，代入原方程验证等式是否成立
例子
(x - 2)/(x - 3) = 1
解：
- 去分母：x - 2 = x - 3
- 移项：x - x = -3 + 2
- 化简：0 = -1
- 这不可能成立，所以原方程无解
注意：如果误以为 x 可以是任意值，要检验：
- 如果 x = 3，分母 x - 3 = 0，所以 x = 3 不是解（是增根）
- 实际上原方程无解
生活中的应用
速度问题
- 🚗 汽车以速度 v 行驶，路程 s，时间 t = s/v
- 如果速度增加 10，时间减少 1 小时
- 可以建立分式方程求解
工程问题
- 🏗️ 甲单独完成工作需要 x 天，乙单独完成需要 y 天
- 甲的工作效率：1/x
- 乙的工作效率：1/y
- 合作效率：1/x + 1/y
- 可以建立分式方程求解
常见错误
错误 1：忘记检验
解分式方程必须检验，否则可能得到增根！
错误 2：去分母时漏项
去分母时，每一项都要乘以最简公分母。
错误 3：最简公分母找错
要仔细找出所有分母的最小公倍数。
小练习
- 解方程：1/(x - 1) = 2
- 解方程：(x + 1)/(x - 2) = 3
- 解方程：1/x + 1/(x + 1) = 5/6
- 检验：x = 2 是方程 1/(x - 2) = 1 的解吗？为什么？
💡 小贴士：解分式方程的关键是"去分母"，但一定要检验！增根是分式方程特有的问题，检验可以帮你识别并排除增根。
