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分式方程

分式方程是分母中含有未知数的方程。解分式方程的关键是"去分母"，但要特别注意检验！

什么是分式方程？​

分式方程是分母中含有未知数的方程。

例子：

1/(x + 1) = 2
(x - 1)/(x + 2) = 3
1/x + 1/(x + 1) = 1

解分式方程的方法​

基本步骤​

  1. 找最简公分母（所有分母的最小公倍数）
  2. 去分母（两边同时乘以最简公分母）
  3. 解整式方程（得到一元一次或一元二次方程）
  4. 检验（⚠️ 非常重要！把解代入原方程，检查分母是否为 0）

例子 1：简单分式方程​

1/(x - 2) = 3

步骤：

  1. 最简公分母是 (x - 2)
  2. 两边同时乘以 (x - 2)： 
    1/(x - 2) × (x - 2) = 3 × (x - 2)
    1 = 3(x - 2)
  3. 展开：1 = 3x - 6
  4. 移项：3x = 7
  5. 求解：x = 7/3
  6. 检验：
    • 分母 x - 2 = 7/3 - 2 = 7/3 - 6/3 = 1/3 ≠ 0 ✓
    • 左边：1/(1/3) = 3
    • 右边：3
    • 左边 = 右边 ✓
  7. 所以 x = 7/3 是方程的解

例子 2：复杂分式方程​

(x - 1)/(x + 2) = 2

步骤：

  1. 最简公分母是 (x + 2)
  2. 两边同时乘以 (x + 2)： 
    (x - 1)/(x + 2) × (x + 2) = 2 × (x + 2)
    x - 1 = 2(x + 2)
  3. 展开：x - 1 = 2x + 4
  4. 移项：x - 2x = 4 + 1
  5. 化简：-x = 5
  6. 求解：x = -5
  7. 检验：
    • 分母 x + 2 = -5 + 2 = -3 ≠ 0 ✓
    • 左边：(-5 - 1)/(-5 + 2) = -6/(-3) = 2
    • 右边：2
    • 左边 = 右边 ✓
  8. 所以 x = -5 是方程的解

例子 3：多个分式​

1/x + 1/(x + 1) = 1

步骤：

  1. 最简公分母是 x(x + 1)
  2. 两边同时乘以 x(x + 1)： 
    [1/x + 1/(x + 1)] × x(x + 1) = 1 × x(x + 1)
  3. 展开左边： 
    1/x × x(x + 1) + 1/(x + 1) × x(x + 1)
    = (x + 1) + x
    = 2x + 1
  4. 所以：2x + 1 = x(x + 1)
  5. 展开右边：2x + 1 = x² + x
  6. 移项：x² + x - 2x - 1 = 0
  7. 化简：x² - x - 1 = 0
  8. 用公式法求解： 
    x = [1 ± √(1 + 4)] / 2
    x = [1 ± √5] / 2
  9. 检验：
    • x = (1 + √5)/2：分母不为 0 ✓
    • x = (1 - √5)/2：分母不为 0 ✓
    • （具体验证过程略）
  10. 所以解是：x = (1 ± √5)/2

增根问题​

什么是增根？​

增根是在去分母过程中产生的，使原方程分母为 0 的"假解"。

为什么会产生增根？​

去分母时，我们两边同时乘以一个可能为 0 的表达式。如果这个表达式的值为 0，就会产生增根。

例子：识别增根​

1/(x - 1) = 2/(x - 1)

错误解法：

  1. 两边同时乘以 (x - 1)：1 = 2
  2. 这显然不成立

正确解法：

  1. 移项：1/(x - 1) - 2/(x - 1) = 0
  2. 合并：-1/(x - 1) = 0
  3. 这不可能成立（分子不为 0，分数不可能为 0）
  4. 所以原方程无解

注意：如果直接去分母得到 1 = 2，说明原方程无解，而不是 x = 1 是解（x = 1 会使分母为 0，是增根）。

检验的重要性​

检验步骤​

  1. 把解代入原方程的所有分母
  2. 检查是否有分母为 0
  3. 如果有分母为 0，这个解是增根，要舍去
  4. 如果所有分母都不为 0，代入原方程验证等式是否成立

例子​

(x - 2)/(x - 3) = 1

解：

  1. 去分母：x - 2 = x - 3
  2. 移项：x - x = -3 + 2
  3. 化简：0 = -1
  4. 这不可能成立，所以原方程无解

注意：如果误以为 x 可以是任意值，要检验：

  • 如果 x = 3，分母 x - 3 = 0，所以 x = 3 不是解（是增根）
  • 实际上原方程无解

生活中的应用​

速度问题​

  • 🚗 汽车以速度 v 行驶，路程 s，时间 t = s/v
    • 如果速度增加 10，时间减少 1 小时
    • 可以建立分式方程求解

工程问题​

  • 🏗️ 甲单独完成工作需要 x 天，乙单独完成需要 y 天
    • 甲的工作效率：1/x
    • 乙的工作效率：1/y
    • 合作效率：1/x + 1/y
    • 可以建立分式方程求解

常见错误​

错误 1：忘记检验​

解分式方程必须检验，否则可能得到增根！

错误 2：去分母时漏项​

去分母时，每一项都要乘以最简公分母。

错误 3：最简公分母找错​

要仔细找出所有分母的最小公倍数。

小练习​

  1. 解方程：1/(x - 1) = 2
  2. 解方程：(x + 1)/(x - 2) = 3
  3. 解方程：1/x + 1/(x + 1) = 5/6
  4. 检验：x = 2 是方程 1/(x - 2) = 1 的解吗？为什么？

💡 小贴士：解分式方程的关键是"去分母"，但一定要检验！增根是分式方程特有的问题，检验可以帮你识别并排除增根。