四边形

四边形是四条边组成的图形！从简单的正方形、长方形到复杂的平行四边形、梯形，四边形种类丰富，应用广泛。

什么是四边形？

四边形（Quadrilateral）是由四条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。

简单理解

四边形就像"四个点连成的图形"：

• 有四个顶点（角）
• 有四条边
• 有四个内角
• 是最简单的多边形之一

性质

• 4 条边：$AB, BC, CD, DA$
• 4 个顶点：$A, B, C, D$
• 4 个内角：$\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$
• 内角和：$360°$

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360°$

四边形的分类

按对边关系分类

平行四边形

平行四边形（Parallelogram）是对边平行的四边形。

性质：

• 对边平行：$AB \parallel CD$，$BC \parallel DA$
• 对边相等：$AB = CD$，$BC = DA$
• 对角相等：$\angle A = \angle C$，$\angle B = \angle D$
• 对角线互相平分
• 相邻角互补：$\angle A + \angle B = 180°$

面积： $S = bh$

其中 $b$ 是底，$h$ 是高

矩形

矩形（Rectangle）是四个角都是直角的平行四边形。

性质：

• 具有平行四边形的所有性质
• 四个角都是 $90°$
• 对角线相等
• 有 2 条对称轴

面积： $S = ab$

其中 $a$ 是长，$b$ 是宽

菱形

菱形（Rhombus）是四条边都相等的平行四边形。

性质：

• 具有平行四边形的所有性质
• 四条边都相等
• 对角线互相垂直
• 对角线平分对角
• 有 2 条对称轴

面积： $S = \frac{1}{2}d_1d_2$

其中 $d_1, d_2$ 是两条对角线的长度

正方形

正方形（Square）是四条边都相等，四个角都是直角的四边形。

性质：

• 具有矩形和菱形的所有性质
• 四条边都相等
• 四个角都是 $90°$
• 对角线相等且互相垂直
• 有 4 条对称轴

面积： $S = a^2$

其中 $a$ 是边长

梯形

梯形（Trapezoid）是只有一组对边平行的四边形。

性质：

• 一组对边平行：$AB \parallel CD$（假设）
• 另一组对边不平行：$BC \not\parallel DA$
• 平行的边叫做底：$AB$ 和 $CD$
• 不平行的边叫做腰：$BC$ 和 $DA$

面积： $S = \frac{1}{2}(a + b)h$

其中 $a, b$ 是上底和下底，$h$ 是高

特殊梯形：

• 等腰梯形：两腰相等的梯形
• 直角梯形：有一个角是直角的梯形

四边形的面积公式

一般四边形

如果知道两条对角线和它们的夹角：

$S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\theta$

其中 $d_1, d_2$ 是对角线，$\theta$ 是它们的夹角

特殊四边形

四边形类型	面积公式
正方形	$S = a^2$
长方形	$S = ab$
平行四边形	$S = bh$
菱形	$S = \frac{1}{2}d_1d_2$
梯形	$S = \frac{1}{2}(a + b)h$

四边形的周长

公式

$P = AB + BC + CD + DA$

对于特殊四边形：

• 正方形：$P = 4a$
• 长方形：$P = 2(a + b)$
• 平行四边形：$P = 2(a + b)$（$a, b$ 是相邻两边）
• 菱形：$P = 4a$

四边形的关系

包含关系

四边形
├── 梯形（只有一组对边平行）
└── 平行四边形（两组对边都平行）
    ├── 矩形（四个角都是直角）
    ├── 菱形（四条边都相等）
    └── 正方形（既是矩形又是菱形）

小练习

1. 如果平行四边形的底是 8 cm，高是 5 cm，求面积
2. 如果梯形的上底是 4 cm，下底是 8 cm，高是 6 cm，求面积
3. 如果菱形的两条对角线分别是 6 cm 和 8 cm，求面积
4. 应用题：一个长方形花坛长 10 米，宽 6 米，要在周围铺一条 1 米宽的小路，求小路的面积

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💡 小贴士：四边形种类很多，但都有规律。记住：内角和 = $360°$，正方形是特殊的矩形和菱形。掌握各种四边形的性质，你就能解决四边形问题！