二次函数
二次函数是最重要的函数之一！它的图像是抛物线，在物理、工程、经济等领域应用非常广泛。
什么是二次函数？
二次函数是形如 y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的函数。
其中：
- a：二次项系数（不能为 0）
- b：一次项系数
- c：常数项
- x：自变量
- y：因变量
标准形式：y = ax² + bx + c
顶点形式：y = a(x - h)² + k（顶点坐标 (h, k)）
二次函数的图像
图像特征
二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线的特征
开口方向
- a > 0：开口向上（像 U 形）
- a < 0：开口向下（像倒 U 形）
对称轴
抛物线关于一条直线对称，这条直线叫做对称轴。
对称轴方程：x = -b/(2a)
顶点
抛物线的最高点（或最低点）叫做顶点。
顶点坐标：(-b/(2a), (4ac - b²)/(4a))
或者用顶点形式：顶点坐标 (h, k)
与坐标轴的交点
与 y 轴的交点：
- 当 x = 0 时，y = c
- 所以交点是 (0, c)
与 x 轴的交点：
- 当 y = 0 时，ax² + bx + c = 0
- 这是一元二次方程，可能有 0、1 或 2 个交点
- 交点的横坐标就是方程的解
如何画二次函数的图像？
方法 1：五点法
- 找出顶点
- 找出对称轴
- 找出与坐标轴的交点
- 在对称轴两侧各取一个点
- 用平滑曲线连接这些点
方法 2：配方法
把一般形式 y = ax² + bx + c 配成顶点形式 y = a(x - h)² + k
步骤：
- 提取 a：y = a(x² + (b/a)x) + c
- 配方：y = a(x² + (b/a)x + (b/(2a))² - (b/(2a))²) + c
- 化简：y = a(x + b/(2a))² + (4ac - b²)/(4a)
- 得到顶点形式，顶点坐标是 (-b/(2a), (4ac - b²)/(4a))
例子
y = x² - 4x + 3
步骤：
- a = 1 > 0，开口向上
- 对称轴：x = -(-4)/(2×1) = 2
- 顶点：x = 2，y = 2² - 4×2 + 3 = -1，顶点 (2, -1)
- 与 y 轴交点：(0, 3)
- 与 x 轴交点：x² - 4x + 3 = 0，解得 x = 1 或 x = 3，交点 (1, 0) 和 (3, 0)
- 画出抛物线
二次函数的性质
单调性
-
a > 0：
- 在对称轴左侧（x < -b/(2a)）：单调递减
- 在对称轴右侧（x > -b/(2a)）：单调递增
- 在顶点处取得最小值
-
a < 0：
- 在对称轴左侧（x < -b/(2a)）：单调递增
- 在对称轴右侧（x > -b/(2a)）：单调递减
- 在顶点处取得最大值
最值
- a > 0：最小值在顶点处，y_min = (4ac - b²)/(4a)
- a < 0：最大值在顶点处，y_max = (4ac - b²)/(4a)
定义域和值域
- 定义域：所有实数 (-∞, +∞)
- 值域：
- 如果 a > 0：[(4ac - b²)/(4a), +∞)
- 如果 a < 0：(-∞, (4ac - b²)/(4a)]
奇偶性
- 当 b = 0 时，y = ax² + c 是偶函数（关于 y 轴对称）
- 当 b ≠ 0 时，既不是奇函数也不是偶函数
二次函数 vs 一元二次方程
二次函数 y = ax² + bx + c 与一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的关系：
- 方程的解 = 函数图像与 x 轴交点的横坐标
- 如果判别式 Δ = b² - 4ac > 0：有两个交点（两个解）
- 如果 Δ = 0：有一个交点（一个解，重根）
- 如果 Δ < 0：没有交点（没有实数解）
生活中的应用
抛体运动
- ⚽ 物体以初速度 v₀ 抛出，高度 h 与时间 t 的关系
- h = v₀t - (1/2)gt²（g 是重力加速度）
- 这是二次函数，开口向下
- 顶点是最高点
面积问题
- 📐 用固定长度的篱笆围矩形，求最大面积
- 设一边长为 x，另一边为 (L - 2x)/2
- 面积 S = x(L - 2x)/2 = -x² + Lx/2
- 这是二次函数，开口向下
- 顶点处面积最大
利润问题
- 💰 商品售价 x 元，成本 c 元，销量与价格的关系
- 利润 = (x - c) × 销量
- 如果销量是价格的函数，利润可能是二次函数
- 可以求最大利润
桥梁设计
- 🌉 拱桥的形状通常是抛物线
- 可以用二次函数描述
- 顶点是最高点
常见错误
错误 1：忘记 a ≠ 0 的条件
❌ 错误：y = 0x² + 3x + 2 是二次函数
✅ 正确：这是一次函数，不是二次函数
错误 2：顶点坐标计算错误
记住公式：
- 顶点横坐标：x = -b/(2a)
- 顶点纵坐标：y = (4ac - b²)/(4a)
错误 3：开口方向判断错误
- a > 0：开口向上
- a < 0：开口向下
小练习
- 画出函数 y = x² - 2x - 3 的图像，并标出顶点和对称轴
- 求函数 y = -x² + 4x - 3 的最大值和单调区间
- 如果二次函数经过点 (0, 3)、(1, 0)、(3, 0)，求函数表达式
- 应用题：用 20 米长的篱笆围矩形，求最大面积
💡 小贴士：二次函数的图像是抛物线，a 决定开口方向，顶点是最值点。掌握顶点坐标公式和对称轴方程，你就能完全掌握二次函数！
