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二次函数

二次函数是最重要的函数之一！它的图像是抛物线，在物理、工程、经济等领域应用非常广泛。

什么是二次函数？​

二次函数是形如 y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的函数。

其中：

  • a：二次项系数（不能为 0）
  • b：一次项系数
  • c：常数项
  • x：自变量
  • y：因变量

标准形式：y = ax² + bx + c

顶点形式：y = a(x - h)² + k（顶点坐标 (h, k)）

二次函数的图像​

图像特征​

二次函数的图像是一条抛物线。

抛物线的特征​

开口方向​

  • a > 0：开口向上（像 U 形）
  • a < 0：开口向下（像倒 U 形）

对称轴​

抛物线关于一条直线对称，这条直线叫做对称轴。

对称轴方程：x = -b/(2a)

顶点​

抛物线的最高点（或最低点）叫做顶点。

顶点坐标：(-b/(2a), (4ac - b²)/(4a))

或者用顶点形式：顶点坐标 (h, k)

与坐标轴的交点​

与 y 轴的交点：

  • 当 x = 0 时，y = c
  • 所以交点是 (0, c)

与 x 轴的交点：

  • 当 y = 0 时，ax² + bx + c = 0
  • 这是一元二次方程，可能有 0、1 或 2 个交点
  • 交点的横坐标就是方程的解

如何画二次函数的图像？​

方法 1：五点法​

  1. 找出顶点
  2. 找出对称轴
  3. 找出与坐标轴的交点
  4. 在对称轴两侧各取一个点
  5. 用平滑曲线连接这些点

方法 2：配方法​

把一般形式 y = ax² + bx + c 配成顶点形式 y = a(x - h)² + k

步骤：

  1. 提取 a：y = a(x² + (b/a)x) + c
  2. 配方：y = a(x² + (b/a)x + (b/(2a))² - (b/(2a))²) + c
  3. 化简：y = a(x + b/(2a))² + (4ac - b²)/(4a)
  4. 得到顶点形式，顶点坐标是 (-b/(2a), (4ac - b²)/(4a))

例子​

y = x² - 4x + 3

步骤：

  1. a = 1 > 0，开口向上
  2. 对称轴：x = -(-4)/(2×1) = 2
  3. 顶点：x = 2，y = 2² - 4×2 + 3 = -1，顶点 (2, -1)
  4. 与 y 轴交点：(0, 3)
  5. 与 x 轴交点：x² - 4x + 3 = 0，解得 x = 1 或 x = 3，交点 (1, 0) 和 (3, 0)
  6. 画出抛物线

二次函数的性质​

单调性​

  • a > 0：

    • 在对称轴左侧（x < -b/(2a)）：单调递减
    • 在对称轴右侧（x > -b/(2a)）：单调递增
    • 在顶点处取得最小值

  • a < 0：

    • 在对称轴左侧（x < -b/(2a)）：单调递增
    • 在对称轴右侧（x > -b/(2a)）：单调递减
    • 在顶点处取得最大值

最值​

  • a > 0：最小值在顶点处，y_min = (4ac - b²)/(4a)
  • a < 0：最大值在顶点处，y_max = (4ac - b²)/(4a)

定义域和值域​

  • 定义域：所有实数 (-∞, +∞)
  • 值域：
    • 如果 a > 0：[(4ac - b²)/(4a), +∞)
    • 如果 a < 0：(-∞, (4ac - b²)/(4a)]

奇偶性​

  • 当 b = 0 时，y = ax² + c 是偶函数（关于 y 轴对称）
  • 当 b ≠ 0 时，既不是奇函数也不是偶函数

二次函数 vs 一元二次方程​

二次函数 y = ax² + bx + c 与一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的关系：

  • 方程的解 = 函数图像与 x 轴交点的横坐标
  • 如果判别式 Δ = b² - 4ac > 0：有两个交点（两个解）
  • 如果 Δ = 0：有一个交点（一个解，重根）
  • 如果 Δ < 0：没有交点（没有实数解）

生活中的应用​

抛体运动​

  • ⚽ 物体以初速度 v₀ 抛出，高度 h 与时间 t 的关系
    • h = v₀t - (1/2)gt²（g 是重力加速度）
    • 这是二次函数，开口向下
    • 顶点是最高点

面积问题​

  • 📐 用固定长度的篱笆围矩形，求最大面积
    • 设一边长为 x，另一边为 (L - 2x)/2
    • 面积 S = x(L - 2x)/2 = -x² + Lx/2
    • 这是二次函数，开口向下
    • 顶点处面积最大

利润问题​

  • 💰 商品售价 x 元，成本 c 元，销量与价格的关系
    • 利润 = (x - c) × 销量
    • 如果销量是价格的函数，利润可能是二次函数
    • 可以求最大利润

桥梁设计​

  • 🌉 拱桥的形状通常是抛物线
    • 可以用二次函数描述
    • 顶点是最高点

常见错误​

错误 1：忘记 a ≠ 0 的条件​

❌ 错误：y = 0x² + 3x + 2 是二次函数
✅ 正确：这是一次函数，不是二次函数

错误 2：顶点坐标计算错误​

记住公式：

  • 顶点横坐标：x = -b/(2a)
  • 顶点纵坐标：y = (4ac - b²)/(4a)

错误 3：开口方向判断错误​

  • a > 0：开口向上
  • a < 0：开口向下

小练习​

  1. 画出函数 y = x² - 2x - 3 的图像，并标出顶点和对称轴
  2. 求函数 y = -x² + 4x - 3 的最大值和单调区间
  3. 如果二次函数经过点 (0, 3)、(1, 0)、(3, 0)，求函数表达式
  4. 应用题：用 20 米长的篱笆围矩形，求最大面积

💡 小贴士：二次函数的图像是抛物线，a 决定开口方向，顶点是最值点。掌握顶点坐标公式和对称轴方程，你就能完全掌握二次函数！