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勾股定理

勾股定理是几何中最重要的定理之一！它在数学、物理、工程等领域都有广泛应用。

什么是勾股定理？​

勾股定理（Pythagorean Theorem）是关于直角三角形三边关系的定理。

定理内容​

在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

其中：

  • a,ba, b：两条直角边
  • cc：斜边（直角所对的边，最长）

简单理解​

勾股定理就像"拼图"：

  • 以两条直角边为边长的两个正方形的面积和
  • 等于以斜边为边长的正方形的面积

勾股定理的证明​

方法 1：面积法​

用四个全等的直角三角形拼成一个正方形：

  • 大正方形的面积 = (a+b)2(a + b)^2
  • 大正方形的面积 = 4×12ab+c24 \times \frac{1}{2}ab + c^2（四个三角形 + 中间小正方形）
  • 所以：(a+b)2=2ab+c2(a + b)^2 = 2ab + c^2
  • 展开：a2+2ab+b2=2ab+c2a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2
  • 化简：a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

方法 2：相似三角形​

利用相似三角形的性质可以证明勾股定理。

勾股定理的应用​

应用 1：已知两条直角边，求斜边​

例子：直角三角形，a=3a = 3, b=4b = 4，求 cc

c=a2+b2=32+42=9+16=25=5c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

应用 2：已知斜边和一条直角边，求另一条直角边​

例子：直角三角形，c=10c = 10, a=6a = 6，求 bb

b=c2−a2=102−62=100−36=64=8b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8

应用 3：判断三角形是否为直角三角形​

例子：判断三边为 5, 12, 13 的三角形是否为直角三角形

  • 检查：52+122=25+144=169=1325^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 ✓
  • 所以是直角三角形

勾股数​

定义​

勾股数（Pythagorean Triple）是满足 a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 的三个正整数。

常见的勾股数​

  • (3,4,5)(3, 4, 5)：32+42=9+16=25=523^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2
  • (5,12,13)(5, 12, 13)：52+122=25+144=169=1325^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2
  • (6,8,10)(6, 8, 10)：62+82=36+64=100=1026^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2（是 (3,4,5)(3, 4, 5) 的倍数）
  • (8,15,17)(8, 15, 17)：82+152=64+225=289=1728^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2
  • (7,24,25)(7, 24, 25)：72+242=49+576=625=2527^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2

生成勾股数​

如果 m>nm > n 是正整数，则：

a=m2−n2,b=2mn,c=m2+n2a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2

是一组勾股数。

例子：m=2m = 2, n=1n = 1

  • a=22−12=3a = 2^2 - 1^2 = 3
  • b=2×2×1=4b = 2 \times 2 \times 1 = 4
  • c=22+12=5c = 2^2 + 1^2 = 5
  • 得到 (3,4,5)(3, 4, 5)

勾股定理的逆定理​

逆定理​

如果三角形的三边满足 a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2，则这个三角形是直角三角形，且 cc 是斜边。

例子：

  • 三边为 5, 12, 13 的三角形
  • 因为 52+122=1325^2 + 12^2 = 13^2，所以是直角三角形，且 13 是斜边

生活中的应用​

建筑​

  • 🏗️ 测量：用勾股定理测量建筑物的高度
  • 📐 设计：设计时计算长度和角度

导航​

  • 🧭 距离计算：计算两点间的直线距离
  • 🗺️ 地图：在地图上计算距离

工程​

  • ⚙️ 机械设计：计算机械零件的尺寸
  • 🔧 工具设计：设计工具时计算尺寸

常见错误​

错误 1：混淆直角边和斜边​

❌ 错误：$a^2 + c^2 = b^2$（$c$ 是斜边）
✅ 正确：$a^2 + b^2 = c^2$（$c$ 是斜边）

错误 2：不是直角三角形​

勾股定理只适用于直角三角形，不能用于其他三角形。

错误 3：计算错误​

开平方时要仔细计算，注意正负号（边长取正值）。

小练习​

  1. 如果直角三角形的两条直角边分别是 6 和 8，求斜边
  2. 如果直角三角形的斜边是 13，一条直角边是 5，求另一条直角边
  3. 判断：三边为 7, 24, 25 的三角形是否为直角三角形？
  4. 应用题：一个梯子长 10 米，靠在墙上，梯子底部离墙 6 米，求梯子顶部离地面的高度

💡 小贴士：勾股定理是直角三角形的重要定理。记住：a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2（cc 是斜边）。掌握勾股定理，你就能解决很多直角三角形的问题！