勾股定理

勾股定理是几何中最重要的定理之一！它在数学、物理、工程等领域都有广泛应用。

什么是勾股定理？

勾股定理（Pythagorean Theorem）是关于直角三角形三边关系的定理。

定理内容

在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

$$a^2 + b^2 = c^2$$

其中：

• $a, b$：两条直角边
• $c$：斜边（直角所对的边，最长）

简单理解

勾股定理就像"拼图"：

• 以两条直角边为边长的两个正方形的面积和
• 等于以斜边为边长的正方形的面积

勾股定理的证明

方法 1：面积法

用四个全等的直角三角形拼成一个正方形：

• 大正方形的面积 = $(a + b)^2$
• 大正方形的面积 = $4 \times \frac{1}{2}ab + c^2$（四个三角形 + 中间小正方形）
• 所以：$(a + b)^2 = 2ab + c^2$
• 展开：$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$
• 化简：$a^2 + b^2 = c^2$

方法 2：相似三角形

利用相似三角形的性质可以证明勾股定理。

勾股定理的应用

应用 1：已知两条直角边，求斜边

例子：直角三角形，$a = 3$, $b = 4$，求 $c$

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

应用 2：已知斜边和一条直角边，求另一条直角边

例子：直角三角形，$c = 10$, $a = 6$，求 $b$

$$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$

应用 3：判断三角形是否为直角三角形

例子：判断三边为 5, 12, 13 的三角形是否为直角三角形

• 检查：$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ ✓
• 所以是直角三角形

勾股数

定义

勾股数（Pythagorean Triple）是满足 $a^2 + b^2 = c^2$ 的三个正整数。

常见的勾股数

• $(3, 4, 5)$：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$
• $(5, 12, 13)$：$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$
• $(6, 8, 10)$：$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$（是 $(3, 4, 5)$ 的倍数）
• $(8, 15, 17)$：$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$
• $(7, 24, 25)$：$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$

生成勾股数

如果 $m > n$ 是正整数，则：

$a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2$

是一组勾股数。

例子：$m = 2$, $n = 1$

• $a = 2^2 - 1^2 = 3$
• $b = 2 \times 2 \times 1 = 4$
• $c = 2^2 + 1^2 = 5$
• 得到 $(3, 4, 5)$

勾股定理的逆定理

逆定理

如果三角形的三边满足 $a^2 + b^2 = c^2$，则这个三角形是直角三角形，且 $c$ 是斜边。

例子：

• 三边为 5, 12, 13 的三角形
• 因为 $5^2 + 12^2 = 13^2$，所以是直角三角形，且 13 是斜边

生活中的应用

建筑

• 🏗️ 测量：用勾股定理测量建筑物的高度
• 📐 设计：设计时计算长度和角度

导航

• 🧭 距离计算：计算两点间的直线距离
• 🗺️ 地图：在地图上计算距离

工程

• ⚙️ 机械设计：计算机械零件的尺寸
• 🔧 工具设计：设计工具时计算尺寸

常见错误

错误 1：混淆直角边和斜边

❌ 错误：$a^2 + c^2 = b^2$（$c$ 是斜边）
✅ 正确：$a^2 + b^2 = c^2$（$c$ 是斜边）

错误 2：不是直角三角形

勾股定理只适用于直角三角形，不能用于其他三角形。

错误 3：计算错误

开平方时要仔细计算，注意正负号（边长取正值）。

小练习

1. 如果直角三角形的两条直角边分别是 6 和 8，求斜边
2. 如果直角三角形的斜边是 13，一条直角边是 5，求另一条直角边
3. 判断：三边为 7, 24, 25 的三角形是否为直角三角形？
4. 应用题：一个梯子长 10 米，靠在墙上，梯子底部离墙 6 米，求梯子顶部离地面的高度

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💡 小贴士：勾股定理是直角三角形的重要定理。记住：$a^2 + b^2 = c^2$（$c$ 是斜边）。掌握勾股定理，你就能解决很多直角三角形的问题！