概率运算

概率运算是计算概率的基本方法！掌握概率运算，是学习概率的关键。

概率的加法

互不相容事件的加法

如果事件 $A$ 和 $B$ 互不相容（$A \cap B = \emptyset$），则：

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

例子：掷骰子

• 事件 $A$：点数为 1，$P(A) = \frac{1}{6}$
• 事件 $B$：点数为 2，$P(B) = \frac{1}{6}$
• $A$ 和 $B$ 互不相容
• $P(A \cup B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$

一般加法公式

如果事件 $A$ 和 $B$ 不一定互不相容，则：

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

推导：

• $P(A \cup B) = P(A) + P(B - A)$
• $P(B) = P(B - A) + P(A \cap B)$
• 所以 $P(B - A) = P(B) - P(A \cap B)$
• 因此 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

例子：从 1 到 10 中随机选一个数

• 事件 $A$：偶数 = $\{2, 4, 6, 8, 10\}$，$P(A) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
• 事件 $B$：大于 5 = $\{6, 7, 8, 9, 10\}$，$P(B) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
• 事件 $A \cap B$：偶数且大于 5 = $\{6, 8, 10\}$，$P(A \cap B) = \frac{3}{10}$
• $P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$

多个事件的加法

对于 $n$ 个事件 $A_1, A_2, \ldots, A_n$，如果它们两两互不相容，则：

$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n)$

概率的乘法

条件概率的乘法

如果 $P(B) > 0$，则：

$P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B)$

其中 $P(A|B)$ 是在 $B$ 发生的条件下 $A$ 发生的概率（条件概率）。

例子：从 52 张扑克牌中连续抽取两张（不放回）

• 事件 $A$：第一张是红心
• 事件 $B$：第二张是红心
• $P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$
• $P(B|A) = \frac{12}{51}$（第一张是红心后，剩下 12 张红心，51 张牌）
• $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{1}{4} \times \frac{12}{51} = \frac{12}{204} = \frac{1}{17}$

独立事件的乘法

如果事件 $A$ 和 $B$ 独立，则：

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

例子：抛两枚硬币

• 事件 $A$：第一枚是正面，$P(A) = \frac{1}{2}$
• 事件 $B$：第二枚是正面，$P(B) = \frac{1}{2}$
• $A$ 和 $B$ 独立
• $P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

多个事件的乘法

对于 $n$ 个事件 $A_1, A_2, \ldots, A_n$，如果它们相互独立，则：

$P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1) \times P(A_2) \times \cdots \times P(A_n)$

对立事件的概率

公式

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

例子：掷骰子

• 事件 $A$：点数为偶数，$P(A) = \frac{1}{2}$
• 对立事件 $\bar{A}$：点数不是偶数，$P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

概率的减法

公式

$P(A - B) = P(A) - P(A \cap B)$

例子：从 1 到 10 中随机选一个数

• 事件 $A$：偶数 = $\{2, 4, 6, 8, 10\}$，$P(A) = \frac{1}{2}$
• 事件 $B$：大于 5 = $\{6, 7, 8, 9, 10\}$，$P(B) = \frac{1}{2}$
• 事件 $A \cap B$：偶数且大于 5 = $\{6, 8, 10\}$，$P(A \cap B) = \frac{3}{10}$
• $P(A - B) = \frac{1}{2} - \frac{3}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

生活中的应用

游戏

• 🎲 游戏设计：计算游戏中的概率
• 🎰 博彩：计算中奖概率

决策

• 💼 商业决策：评估风险
• 🏥 医学诊断：评估诊断准确性

常见错误

错误 1：加法公式使用错误

如果事件不互不相容，要用 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$。

错误 2：乘法公式使用错误

要分清独立事件和条件概率，使用正确的公式。

错误 3：对立事件计算错误

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$，不要忘记 1。

小练习

1. 如果 $P(A) = 0.3$，$P(B) = 0.5$，$P(A \cap B) = 0.1$，求 $P(A \cup B)$
2. 如果 $P(A) = 0.4$，$P(B) = 0.6$，且 $A$ 和 $B$ 独立，求 $P(A \cap B)$
3. 如果 $P(A) = 0.7$，求 $P(\bar{A})$
4. 应用题：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，连续抽取两个球（不放回），求都是红球的概率

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💡 小贴士：概率运算是计算概率的基本方法。记住：加法公式 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$，独立事件的乘法公式 $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$。掌握概率运算，你就能计算各种概率！