概率分布

概率分布是描述随机变量取值规律的函数！理解常见的概率分布，是学习概率与统计的重要内容。

什么是概率分布？

概率分布（Probability Distribution）是描述随机变量取值规律的函数。

简单理解

概率分布就像"随机变量的取值规律"：

• 描述随机变量取各个值的概率
• 离散随机变量用概率质量函数
• 连续随机变量用概率密度函数

离散概率分布

1. 二项分布

二项分布（Binomial Distribution）描述 $n$ 次独立重复试验中成功次数的分布。

参数：

• $n$：试验次数
• $p$：每次试验成功的概率

概率质量函数：

$P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

其中 $k = 0, 1, 2, \ldots, n$。

期望和方差：

$E(X) = np$

$\text{Var}(X) = np(1-p)$

例子：抛硬币 10 次，求正面出现 5 次的概率

• $n = 10$，$p = 0.5$，$k = 5$
• $P(X = 5) = C_{10}^5 (0.5)^5 (0.5)^5 = 252 \times 0.03125 = 0.246$

2. 泊松分布

泊松分布（Poisson Distribution）描述单位时间内事件发生次数的分布。

参数：

• $\lambda$：平均发生次数

概率质量函数：

$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

其中 $k = 0, 1, 2, \ldots$。

期望和方差：

$E(X) = \lambda$

$\text{Var}(X) = \lambda$

例子：某路口平均每小时发生 2 起事故，求 1 小时内发生 3 起事故的概率

• $\lambda = 2$，$k = 3$
• $P(X = 3) = \frac{2^3 e^{-2}}{3!} = \frac{8 e^{-2}}{6} \approx 0.180$

3. 几何分布

几何分布（Geometric Distribution）描述首次成功所需的试验次数。

参数：

• $p$：每次试验成功的概率

概率质量函数：

$P(X = k) = (1-p)^{k-1} p$

其中 $k = 1, 2, 3, \ldots$。

期望和方差：

$E(X) = \frac{1}{p}$

$\text{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2}$

例子：抛硬币，求首次出现正面所需的次数

• $p = 0.5$
• $P(X = 3) = (0.5)^2 \times 0.5 = 0.125$

连续概率分布

1. 均匀分布

均匀分布（Uniform Distribution）描述在区间 $[a, b]$ 上均匀分布的随机变量。

概率密度函数：

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{如果 } a \le x \le b \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$$

期望和方差：

$$E(X) = \frac{a + b}{2}$$ $$\text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$$

例子：随机变量 $X$ 在 $[0, 10]$ 上均匀分布

• $E(X) = \frac{0 + 10}{2} = 5$
• $\text{Var}(X) = \frac{(10-0)^2}{12} = \frac{100}{12} = \frac{25}{3}$

2. 正态分布

正态分布（Normal Distribution）是最重要的连续概率分布。

参数：

• $\mu$：均值
• $\sigma^2$：方差

概率密度函数：

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

期望和方差：

$$E(X) = \mu$$ $$\text{Var}(X) = \sigma^2$$

标准正态分布：$\mu = 0$，$\sigma = 1$

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$$

性质：

• 关于 $x = \mu$ 对称
• $68\%$ 的数据在 $[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$ 内
• $95\%$ 的数据在 $[\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]$ 内
• $99.7\%$ 的数据在 $[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$ 内

3. 指数分布

指数分布（Exponential Distribution）描述事件发生的时间间隔。

参数：

• $\lambda$：速率参数

概率密度函数：

$$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{如果 } x \ge 0 \\ 0 & \text{如果 } x < 0 \end{cases}$$

期望和方差：

$$E(X) = \frac{1}{\lambda}$$ $$\text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}$$

例子：某设备平均每 10 小时故障一次，求故障时间间隔的分布

• $\lambda = \frac{1}{10} = 0.1$
• $E(X) = 10$ 小时

生活中的应用

统计

• 📊 数据分析：用概率分布描述数据
• 📈 统计推断：用概率分布进行统计推断

工程

• ⚙️ 质量控制：用概率分布控制质量
• 🏗️ 可靠性分析：用概率分布分析可靠性

科学

• 🔬 实验分析：用概率分布分析实验结果
• 📊 模型建立：用概率分布建立模型

常见错误

错误 1：分布类型混淆

要分清离散分布和连续分布。

错误 2：参数理解错误

要正确理解分布的参数含义。

错误 3：公式使用错误

要正确使用概率质量函数和概率密度函数。

小练习

1. 抛硬币 5 次，求正面出现 3 次的概率（用二项分布）
2. 某路口平均每小时发生 3 起事故，求 1 小时内发生 2 起事故的概率（用泊松分布）
3. 随机变量 $X$ 在 $[2, 8]$ 上均匀分布，求 $E(X)$ 和 $\text{Var}(X)$
4. 应用题：某产品的寿命服从指数分布，平均寿命是 1000 小时，求寿命超过 1500 小时的概率

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💡 小贴士：概率分布是描述随机变量取值规律的函数。记住：二项分布描述成功次数，正态分布是最重要的连续分布。掌握常见的概率分布，你就能更好地分析和描述随机现象！