幂函数
幂函数是形如 y = xⁿ 的函数，其中 n 是常数。不同的 n 值会产生不同形状的图像！
什么是幂函数？
幂函数是形如 y = xⁿ（n 是常数）的函数。
其中：
- x：自变量（底数）
- n：指数（常数，可以是整数、分数等）
- y：函数值（因变量）
注意：幂函数和指数函数的区别
- 幂函数：y = xⁿ（底数是变量，指数是常数）
- 指数函数：y = aˣ（底数是常数，指数是变量）
幂函数的分类
按指数 n 分类
n 是正整数
y = xⁿ（n = 1, 2, 3, ...）
例子 ：
- y = x（一次函数，直线）
- y = x²（二次函数，抛物线）
- y = x³（三次函数，立方曲线）
n 是负整数
y = x⁻ⁿ = 1/xⁿ（n = 1, 2, 3, ...）
例子：
- y = 1/x（反比例函数，双曲线）
- y = 1/x²
- y = 1/x³
n 是分数
y = x^(p/q)（p、q 是整数）
例子：
- y = x^(1/2) = √x（平方根函数）
- y = x^(1/3) = ∛x（立方根函数）
- y = x^(2/3)
常见幂函数的图像
y = x（n = 1）
- 图像：经过原点的直线
- 单调递增
- 奇函数
y = x²（n = 2）
- 图像：开口向上的抛物线
- 在 (-∞, 0) 上单调递减，在 (0, +∞) 上单调递增
- 偶函数
- 最小值在 x = 0 处，y = 0
y = x³ （n = 3）
- 图像：经过原点的 S 形曲线
- 单调递增
- 奇函数
y = 1/x（n = -1）
- 图像：双曲线
- 在 (-∞, 0) 和 (0, +∞) 上分别单调递减
- 奇函数
y = √x（n = 1/2）
- 图像：从原点开始的曲线，向右上方延伸
- 定义域：[0, +∞)
- 值域：[0, +∞)
- 单调递增
y = ∛x（n = 1/3）
- 图像：经过原点的 S 形曲线
- 定义域：所有实数
- 值域：所有实数
- 单调递增
- 奇函数
幂函数的性质
定义域
- n 是正整数：所有实数 (-∞, +∞)
- n 是负整数：x ≠ 0，即 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)
- n 是正分数 p/q：
- 如果 q 是奇数：所有 实数
- 如果 q 是偶数：x ≥ 0，即 [0, +∞)
- n 是负分数：类似正分数，但 x ≠ 0
值域
- n 是正整数：
- 如果 n 是奇数：所有实数
- 如果 n 是偶数：[0, +∞)
- n 是负整数：y ≠ 0
- n 是正分数：类似定义域
- n 是负分数：类似定义域，但 y ≠ 0
单调性
- n > 0：
- 如果 n 是奇数：在整个定义域上单调递增
- 如果 n 是偶数：在 (-∞, 0) 上单调递减，在 (0, +∞) 上单调递增
- n < 0：
- 在 (-∞, 0) 和 (0, +∞) 上分别单调（方向与 n > 0 相反）
奇偶性
- n 是奇数：奇函数（关于原点对称）
- n 是偶数：偶函数（关于 y 轴对称）
特殊点
- 所有幂函数都经过点 (1, 1)：1ⁿ = 1
- 当 n ≠ 0 时，经过点 (0, 0)：0ⁿ = 0（n > 0）
幂函数的运算法则
- xᵐ × xⁿ = xᵐ⁺ⁿ（同底数幂相乘）
- xᵐ ÷ xⁿ = xᵐ⁻ⁿ（同底数幂相除）
- (xᵐ)ⁿ = xᵐⁿ（幂的幂）
- (xy)ⁿ = xⁿyⁿ（积的幂）
生活中的应用
面积和体积
- 📐 正方形的面积：S = a²（a 是边长）
- 📦 立方体的体积：V = a³（a 是边长）
物理问题
- ⚡ 电阻的功率：P = I²R（I 是电流，R 是电阻）
- 🌊 波的强度：I ∝ A²（A 是振幅）
几何问题
- 🔵 球的体积：V = (4/3)πr³（r 是半径）
- 📏 圆的面积：S = πr²（r 是半径）
幂函数与其他函数的关系
与一次函数
- y = x 是一次函数，也是幂函数（n = 1）
与二次函数
- y = x² 是二次函数，也是幂函数（n = 2）
- 但 y = x² + 2x + 1 是二次函数，不是幂函数
与反比例函数
- y = 1/x 是反比例函数，也是幂函数（n = -1）
常见错误
错误 1：混淆幂函数和指数函数
❌ 错误：y = 2ˣ 是幂函数
✅ 正确：y = 2ˣ 是指数函数，y = x² 是幂函数
错误 2：定义域错误
对于 y = x^(1/2) = √x，定义域是 [0, +∞)，不是所有实数。
错误 3：值域错误
对于 y = x²，值域是 [0, +∞)，不是所有实数。
小练习
- 画出函数 y = x³ 的图像
- 比较 y = x² 和 y = x⁴ 的图像
- 求函数 y = x^(-2) 的定义域和值域
- 应用题：球的体积 V 与半径 r 的关系是 V = (4/3)πr³，这是幂函数吗？
💡 小贴士：幂函数 y = xⁿ 中，n 的值决定了函数的形状和性质。记住 n 的奇偶性影响函数的奇偶性和单调性！
