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幂函数

幂函数是形如 y = xⁿ 的函数，其中 n 是常数。不同的 n 值会产生不同形状的图像！

什么是幂函数？​

幂函数是形如 y = xⁿ（n 是常数）的函数。

其中：

  • x：自变量（底数）
  • n：指数（常数，可以是整数、分数等）
  • y：函数值（因变量）

注意：幂函数和指数函数的区别

  • 幂函数：y = xⁿ（底数是变量，指数是常数）
  • 指数函数：y = aˣ（底数是常数，指数是变量）

幂函数的分类​

按指数 n 分类​

n 是正整数​

y = xⁿ（n = 1, 2, 3, ...）

例子：

  • y = x（一次函数，直线）
  • y = x²（二次函数，抛物线）
  • y = x³（三次函数，立方曲线）

n 是负整数​

y = x⁻ⁿ = 1/xⁿ（n = 1, 2, 3, ...）

例子：

  • y = 1/x（反比例函数，双曲线）
  • y = 1/x²
  • y = 1/x³

n 是分数​

y = x^(p/q)（p、q 是整数）

例子：

  • y = x^(1/2) = √x（平方根函数）
  • y = x^(1/3) = ∛x（立方根函数）
  • y = x^(2/3)

常见幂函数的图像​

y = x（n = 1）​

  • 图像：经过原点的直线
  • 单调递增
  • 奇函数

y = x²（n = 2）​

  • 图像：开口向上的抛物线
  • 在 (-∞, 0) 上单调递减，在 (0, +∞) 上单调递增
  • 偶函数
  • 最小值在 x = 0 处，y = 0

y = x³（n = 3）​

  • 图像：经过原点的 S 形曲线
  • 单调递增
  • 奇函数

y = 1/x（n = -1）​

  • 图像：双曲线
  • 在 (-∞, 0) 和 (0, +∞) 上分别单调递减
  • 奇函数

y = √x（n = 1/2）​

  • 图像：从原点开始的曲线，向右上方延伸
  • 定义域：[0, +∞)
  • 值域：[0, +∞)
  • 单调递增

y = ∛x（n = 1/3）​

  • 图像：经过原点的 S 形曲线
  • 定义域：所有实数
  • 值域：所有实数
  • 单调递增
  • 奇函数

幂函数的性质​

定义域​

  • n 是正整数：所有实数 (-∞, +∞)
  • n 是负整数：x ≠ 0，即 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)
  • n 是正分数 p/q：
    • 如果 q 是奇数：所有实数
    • 如果 q 是偶数：x ≥ 0，即 [0, +∞)
  • n 是负分数：类似正分数，但 x ≠ 0

值域​

  • n 是正整数：
    • 如果 n 是奇数：所有实数
    • 如果 n 是偶数：[0, +∞)
  • n 是负整数：y ≠ 0
  • n 是正分数：类似定义域
  • n 是负分数：类似定义域，但 y ≠ 0

单调性​

  • n > 0：
    • 如果 n 是奇数：在整个定义域上单调递增
    • 如果 n 是偶数：在 (-∞, 0) 上单调递减，在 (0, +∞) 上单调递增
  • n < 0：
    • 在 (-∞, 0) 和 (0, +∞) 上分别单调（方向与 n > 0 相反）

奇偶性​

  • n 是奇数：奇函数（关于原点对称）
  • n 是偶数：偶函数（关于 y 轴对称）

特殊点​

  • 所有幂函数都经过点 (1, 1)：1ⁿ = 1
  • 当 n ≠ 0 时，经过点 (0, 0)：0ⁿ = 0（n > 0）

幂函数的运算法则​

  1. xᵐ × xⁿ = xᵐ⁺ⁿ（同底数幂相乘）
  2. xᵐ ÷ xⁿ = xᵐ⁻ⁿ（同底数幂相除）
  3. (xᵐ)ⁿ = xᵐⁿ（幂的幂）
  4. (xy)ⁿ = xⁿyⁿ（积的幂）

生活中的应用​

面积和体积​

  • 📐 正方形的面积：S = a²（a 是边长）
  • 📦 立方体的体积：V = a³（a 是边长）

物理问题​

  • ⚡ 电阻的功率：P = I²R（I 是电流，R 是电阻）
  • 🌊 波的强度：I ∝ A²（A 是振幅）

几何问题​

  • 🔵 球的体积：V = (4/3)πr³（r 是半径）
  • 📏 圆的面积：S = πr²（r 是半径）

幂函数与其他函数的关系​

与一次函数​

  • y = x 是一次函数，也是幂函数（n = 1）

与二次函数​

  • y = x² 是二次函数，也是幂函数（n = 2）
  • 但 y = x² + 2x + 1 是二次函数，不是幂函数

与反比例函数​

  • y = 1/x 是反比例函数，也是幂函数（n = -1）

常见错误​

错误 1：混淆幂函数和指数函数​

❌ 错误：y = 2ˣ 是幂函数
✅ 正确：y = 2ˣ 是指数函数，y = x² 是幂函数

错误 2：定义域错误​

对于 y = x^(1/2) = √x，定义域是 [0, +∞)，不是所有实数。

错误 3：值域错误​

对于 y = x²，值域是 [0, +∞)，不是所有实数。

小练习​

  1. 画出函数 y = x³ 的图像
  2. 比较 y = x² 和 y = x⁴ 的图像
  3. 求函数 y = x^(-2) 的定义域和值域
  4. 应用题：球的体积 V 与半径 r 的关系是 V = (4/3)πr³，这是幂函数吗？

💡 小贴士：幂函数 y = xⁿ 中，n 的值决定了函数的形状和性质。记住 n 的奇偶性影响函数的奇偶性和单调性！