其他多边形

除了三角形、四边形和圆，还有很多其他有趣的多边形！让我们一起来认识它们。

什么是多边形？

多边形（Polygon）是由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。

简单理解

多边形就是"多条边组成的图形"：

• 至少有三条边
• 每条边都是线段
• 首尾相连，形成封闭图形

多边形的组成部分

• 顶点：边的交点
• 边：连接顶点的线段
• 内角：相邻两条边之间的角
• 外角：内角的补角

多边形的分类

按边数分类

三角形（3 边形）

• 3 条边，3 个顶点，3 个内角
• 内角和：$180°$

四边形（4 边形）

• 4 条边，4 个顶点，4 个内角
• 内角和：$360°$
• 包括：正方形、长方形、平行四边形、梯形等

五边形（5 边形）

• 5 条边，5 个顶点，5 个内角
• 内角和：$540°$

六边形（6 边形）

• 6 条边，6 个顶点，6 个内角
• 内角和：$720°$

n 边形

• $n$ 条边，$n$ 个顶点，$n$ 个内角
• 内角和：$(n - 2) \times 180°$

按形状分类

正多边形

正多边形是所有边都相等，所有角都相等的多边形。

例子：

• 正三角形：等边三角形
• 正四边形：正方形
• 正五边形：五条边都相等，五个角都相等
• 正六边形：六条边都相等，六个角都相等

性质：

• 所有边都相等
• 所有内角都相等
• 有 $n$ 条对称轴（$n$ 是边数）

不规则多边形

不规则多边形是边或角不相等的多边形。

多边形的内角和

公式

$n$ 边形的内角和：

$(n - 2) \times 180°$

其中：

• $n$：边数

推导

从一个顶点出发，可以画出 $(n - 3)$ 条对角线，把 $n$ 边形分成 $(n - 2)$ 个三角形。

每个三角形的内角和是 $180°$，所以 $n$ 边形的内角和是 $(n - 2) \times 180°$。

例子

例子 1：三角形（$n = 3$）

• 内角和 = $(3 - 2) \times 180° = 180°$ ✓

例子 2：四边形（$n = 4$）

• 内角和 = $(4 - 2) \times 180° = 360°$ ✓

例子 3：五边形（$n = 5$）

• 内角和 = $(5 - 2) \times 180° = 540°$

例子 4：六边形（$n = 6$）

• 内角和 = $(6 - 2) \times 180° = 720°$

正多边形的性质

正 $n$ 边形的内角

$\text{每个内角} = \frac{(n - 2) \times 180°}{n}$

例子：

• 正五边形：每个内角 = $\frac{(5 - 2) \times 180°}{5} = \frac{540°}{5} = 108°$
• 正六边形：每个内角 = $\frac{(6 - 2) \times 180°}{6} = \frac{720°}{6} = 120°$

正 $n$ 边形的外角

$\text{每个外角} = \frac{360°}{n}$

例子：

• 正五边形：每个外角 = $\frac{360°}{5} = 72°$
• 正六边形：每个外角 = $\frac{360°}{6} = 60°$

关系

$\text{内角} + \text{外角} = 180°$

常见多边形

五边形

• 边数：5
• 内角和：$540°$
• 正五边形每个内角：$108°$
• 应用：五角星、足球的图案

六边形

• 边数：6
• 内角和：$720°$
• 正六边形每个内角：$120°$
• 应用：蜂巢、螺母、地砖

八边形

• 边数：8
• 内角和：$1080°$
• 正八边形每个内角：$135°$
• 应用：停止标志、建筑装饰

生活中的应用

建筑

• 🏛️ 建筑装饰：许多建筑使用多边形装饰
• 🏗️ 结构设计：多边形结构在建筑中很常见

自然

• 🐝 蜂巢：蜂巢是正六边形
• ❄️ 雪花：雪花是六边形

设计

• 🎨 图案设计：多边形图案在设计中很常见
• 🎯 标志：许多标志使用多边形

常见错误

错误 1：内角和公式错误

❌ 错误：n 边形内角和 = n × 180°
✅ 正确：n 边形内角和 = (n - 2) × 180°

错误 2：正多边形和一般多边形混淆

正多边形是特殊的多边形，要求所有边和角都相等。

错误 3：外角和计算错误

$n$ 边形的外角和总是 $360°$，与边数无关。

小练习

1. 求五边形的内角和
2. 求正六边形每个内角的度数
3. 如果一个多边形的内角和是 $900°$，求边数
4. 应用题：一个正八边形花坛，每条边长 2 米，求周长

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💡 小贴士：多边形是"多条边组成的图形"。记住：$n$ 边形内角和 = $(n - 2) \times 180°$，正 $n$ 边形每个外角 = $\frac{360°}{n}$！