极坐标系

极坐标系是用角度和距离表示位置的坐标系！在某些情况下，极坐标系比笛卡尔坐标系更方便。

什么是极坐标系？

极坐标系（Polar Coordinate System）是一个二维坐标系统。该坐标系统中任意位置可由一个夹角和一段相对原点（在这里称为"极点"）的距离来表示。

简单理解

极坐标系就像"指南针"：

• 用角度表示方向
• 用距离表示远近
• 从原点出发，沿着某个角度走一定距离

应用领域

极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海、航空、电脑以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。

极坐标系的构成

坐标轴

正如所有的二维坐标系，极坐标系也有两个坐标轴：

• $r$（半径坐标）：表示与极点的距离
• $\theta$（角坐标、极角或方位角）：有时也表示为 $\phi$ 或 $t$，表示按逆时针方向坐标距离 $0°$ 射线（有时也称作极轴）的角度

极轴就是在平面直角坐标系中的 x 轴正方向。

坐标表示

极坐标系中的点用 $(r, \theta)$ 表示：

• $r$：从极点到点的距离（$r \ge 0$）
• $\theta$：从极轴到点的角度（通常用弧度或度表示）

例子

例子 1：极坐标 $(3, 60°)$

• 表示了一个距离极点 3 个单位长度、和极轴夹角为 $60°$ 的点

例子 2：极坐标 $(-3, 240°)$ 和 $(3, 60°)$

• 表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点 3 个单位长度的地方（$240° - 180° = 60°$）

极坐标的特性

多值性

极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。

通常来说，点 $(r, \theta)$ 可以任意表示为：

• $(r, \theta ± n \times 360°)$ 或
• $(-r, \theta ± (2n + 1) \times 180°)$

这里 $n$ 是任意整数。

特殊情况

如果某一点的 $r$ 坐标为 0，那么无论 $\theta$ 取何值，该点的位置都落在了极点上。

角度和弧度

极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式：

$2\pi \text{ rad} = 360°$

具体使用哪一种方式，基本都是由使用场合而定：

• 航海方面：经常使用角度来进行测量
• 物理学：某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度

极坐标与笛卡尔坐标的转换

极坐标转笛卡尔坐标

如果极坐标为 $(r, \theta)$，则笛卡尔坐标为：

$x = r\cos\theta$

$y = r\sin\theta$

极坐标系与平面直角坐标系之间的变换关系如下图所示。

笛卡尔坐标转极坐标

如果笛卡尔坐标为 $(x, y)$，则极坐标为：

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$

注意：$\theta$ 的值需要根据 $x, y$ 的符号确定所在的象限。

生活中的应用

导航

• 🧭 方向导航：用角度和距离导航
• 🗺️ 地图：某些地图使用极坐标系统

物理

• ⚡ 波动：描述波动现象
• 🔬 场论：描述各种场

工程

• ⚙️ 机械设计：描述旋转运动
• 🔧 控制系统：描述控制系统

常见错误

错误 1：角度单位混淆

要分清角度和弧度，注意换算关系。

错误 2：多值性忽略

极坐标中同一个点有多种表示方法，要注意这一点。

错误 3：转换公式使用错误

转换公式中要注意象限的判断。

小练习

1. 将极坐标 $(4, 45°)$ 转换为笛卡尔坐标
2. 将笛卡尔坐标 $(3, 4)$ 转换为极坐标
3. 极坐标 $(5, 30°)$ 和 $(5, 390°)$ 表示的是同一个点吗？
4. 应用题：一个物体距离原点 10 米，与 x 轴正方向夹角 $60°$，求它在笛卡尔坐标系中的位置

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💡 小贴士：极坐标系用角度和距离表示位置。记住：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$。极坐标中同一个点有多种表示方法，这是极坐标的一个重要特性！