点、线、角

点、线、角是几何的基本元素！理解它们，是学习几何的基础。

点

什么是点？

点（Point）是几何中最基本的元素，没有大小，只有位置。

点的表示

• 用大写字母表示：$A, B, C, \ldots$
• 在纸上用一个小点表示
• 在坐标系中用坐标 $(x, y)$ 表示

点的性质

• 没有大小：点只有位置，没有长度、宽度、高度
• 确定位置：一个点确定一个位置
• 无数个点组成线：线是由无数个点组成的

线

什么是线？

线（Line）是由无数个点组成的，有长度但没有宽度。

线的分类

直线

直线（Straight Line）是向两端无限延伸的线。

性质：

• 两点确定一条直线
• 直线没有端点
• 直线可以向两端无限延伸

表示：

• 用两个点表示：直线 $AB$ 或 $\overleftrightarrow{AB}$
• 用小写字母表示：直线 $l$

射线

射线（Ray）是有一个端点，向另一端无限延伸的线。

性质：

• 有一个端点
• 向一个方向无限延伸

表示：

• 用端点和另一点表示：射线 $AB$ 或 $\overrightarrow{AB}$
• 端点在前：$A$ 是端点

线段

线段（Line Segment）是有两个端点的线。

性质：

• 有两个端点
• 长度有限
• 可以测量长度

表示：

• 用两个端点表示：线段 $AB$ 或 $\overline{AB}$
• 长度记作 $AB$ 或 $|AB|$

线的位置关系

相交

相交：两条线有且仅有一个公共点。

例子：

• 两条直线相交，交点是 $O$

平行

平行：在同一平面内，两条直线没有公共点。

表示：$l_1 \parallel l_2$

性质：

• 平行线永不相交
• 如果 $l_1 \parallel l_2$ 且 $l_2 \parallel l_3$，则 $l_1 \parallel l_3$（传递性）

垂直

垂直：两条直线相交成直角。

表示：$l_1 \perp l_2$

性质：

• 垂直的两条直线相交成 $90°$
• 如果 $l_1 \perp l_2$，则 $l_2 \perp l_1$（对称性）

角

什么是角？

角（Angle）是由两条射线（或线段）从同一点出发组成的图形。

角的组成部分

• 顶点（Vertex）：两条射线的公共端点
• 边（Side）：组成角的两条射线

角的表示

• 用三个字母：$\angle ABC$（顶点 $B$ 在中间）
• 用顶点字母：$\angle B$（如果只有一个角）
• 用数字或希腊字母：$\angle 1$，$\angle \alpha$

角的度量

单位：

• 度（Degree）：用 $°$ 表示，一个圆周 = $360°$
• 弧度（Radian）：用 rad 表示，一个圆周 = $2\pi$ rad

换算： $180° = \pi \text{ rad}$

角的分类

按大小分类

锐角（Acute Angle）：$0° < \angle < 90°$

直角（Right Angle）：$\angle = 90°$

钝角（Obtuse Angle）：$90° < \angle < 180°$

平角（Straight Angle）：$\angle = 180°$

周角（Full Angle）：$\angle = 360°$

按位置关系分类

对顶角（Vertical Angles）：两条直线相交，相对的两个角。

性质：对顶角相等

邻补角（Adjacent Supplementary Angles）：相邻且互补的两个角。

性质：邻补角之和 = $180°$

同位角（Corresponding Angles）：两条平行线被第三条直线所截，位置相同的角。

性质：同位角相等（如果两直线平行）

内错角（Alternate Interior Angles）：两条平行线被第三条直线所截，在两条线内部且位置交错的角。

性质：内错角相等（如果两直线平行）

同旁内角（Same-Side Interior Angles）：两条平行线被第三条直线所截，在两条线内部且在同侧的角。

性质：同旁内角互补（如果两直线平行）

角的关系

互补

互补：两个角的和等于 $180°$。

$\angle A + \angle B = 180°$

例子：

• 如果 $\angle A = 120°$，则 $\angle A$ 的补角 = $180° - 120° = 60°$

互余

互余：两个角的和等于 $90°$。

$\angle A + \angle B = 90°$

例子：

• 如果 $\angle A = 30°$，则 $\angle A$ 的余角 = $90° - 30° = 60°$

对顶角

对顶角相等。

如果两条直线相交，则： $\angle 1 = \angle 3, \quad \angle 2 = \angle 4$

生活中的应用

建筑

• 🏗️ 角度测量：测量建筑物的角度
• 📐 设计：设计时需要考虑角度

导航

• 🧭 方向：用角度表示方向
• 🗺️ 地图：地图上的角度关系

艺术

• 🎨 构图：艺术构图中的角度关系
• 📐 透视：透视画法中的角度

常见错误

错误 1：混淆射线和线段

• 射线：有一个端点，向一个方向延伸
• 线段：有两个端点，长度有限

错误 2：角度单位错误

要分清度和弧度，注意换算关系。

错误 3：对顶角和邻补角混淆

• 对顶角：相对的两个角，相等
• 邻补角：相邻的两个角，互补（和为 $180°$）

小练习

1. 画一条直线 $AB$ 和一条射线 $CD$
2. 如果 $\angle A = 45°$，求 $\angle A$ 的补角和余角
3. 两条直线相交，如果 $\angle 1 = 60°$，求对顶角 $\angle 3$ 的度数
4. 如果两条平行线被第三条直线所截，$\angle 1 = 70°$，求同位角 $\angle 2$ 的度数

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💡 小贴士：点、线、角是几何的基本元素。记住：两点确定一条直线，对顶角相等，互补角之和 = $180°$，互余角之和 = $90°$！