数值方法

数值方法是用数值计算求解数学问题的方法！理解数值方法，能帮助我们解决许多无法解析求解的问题。

什么是数值方法？

数值方法（Numerical Methods）是用数值计算近似求解数学问题的方法。

简单理解

数值方法就像"用计算机算出来"：

• 有些问题无法解析求解
• 用数值方法近似求解
• 得到近似解

目的

数值方法的目的：

• 🔢 求解方程：求解无法解析求解的方程
• 📊 计算积分：计算无法解析计算的积分
• 🔍 优化问题：求解优化问题

方程求根

二分法

二分法（Bisection Method）是求解方程 $f(x) = 0$ 的根的方法。

算法：

1. 选择区间 $[a, b]$，使得 $f(a) f(b) < 0$
2. 计算中点 $c = \frac{a + b}{2}$
3. 如果 $f(c) = 0$，则 $c$ 是根
4. 否则，根据 $f(a) f(c)$ 的符号选择新区间
5. 重复步骤 2-4，直到满足精度要求

例子：求 $f(x) = x^2 - 2 = 0$ 的根

• 区间 $[1, 2]$：$f(1) = -1 < 0$，$f(2) = 2 > 0$
• $c = 1.5$：$f(1.5) = 0.25 > 0$，新区间 $[1, 1.5]$
• $c = 1.25$：$f(1.25) = -0.4375 < 0$，新区间 $[1.25, 1.5]$
• 继续迭代，得到 $\sqrt{2} \approx 1.414$

牛顿法

牛顿法（Newton's Method）是求解方程 $f(x) = 0$ 的根的迭代方法。

迭代公式：

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

几何意义：用切线近似曲线，求切线与 $x$ 轴的交点。

例子：求 $f(x) = x^2 - 2 = 0$ 的根

• $f'(x) = 2x$
• 迭代公式：$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n}$
• 初值 $x_0 = 1$：
  • $x_1 = 1.5$
  • $x_2 = 1.4167$
  • $x_3 = 1.4142$

数值积分

矩形法

矩形法（Rectangle Method）是用矩形近似曲线下的面积。

公式：

$\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x$

其中 $\Delta x = \frac{b - a}{n}$，$x_i = a + i \Delta x$。

梯形法

梯形法（Trapezoidal Rule）是用梯形近似曲线下的面积。

公式：

$\int_a^b f(x) dx \approx \frac{\Delta x}{2} [f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b)]$

辛普森法

辛普森法（Simpson's Rule）是用抛物线近似曲线下的面积。

公式（$n$ 为偶数）：

$\int_a^b f(x) dx \approx \frac{\Delta x}{3} [f(a) + 4\sum_{i=1}^{n/2} f(x_{2i-1}) + 2\sum_{i=1}^{n/2-1} f(x_{2i}) + f(b)]$

例子：计算 $\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$

• 精确值：$\frac{1}{3} \approx 0.3333$
• 梯形法（$n = 4$）：$0.34375$
• 辛普森法（$n = 4$）：$0.3333$（更精确）

微分方程数值解

欧拉法

欧拉法（Euler's Method）是求解一阶微分方程 $y' = f(x, y)$ 的数值方法。

迭代公式：

$y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)$

其中 $h$ 是步长。

例子：求解 $y' = y$，$y(0) = 1$

• 精确解：$y = e^x$
• 欧拉法（$h = 0.1$）：
  • $y_1 = 1 + 0.1 \times 1 = 1.1$
  • $y_2 = 1.1 + 0.1 \times 1.1 = 1.21$
  • $y_3 = 1.21 + 0.1 \times 1.21 = 1.331$

龙格-库塔法

龙格-库塔法（Runge-Kutta Method）是更精确的微分方程数值解法。

四阶龙格-库塔法（RK4）：

$k_1 = h f(x_n, y_n)$ $k_2 = h f(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_1}{2})$ $k_3 = h f(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_2}{2})$ $k_4 = h f(x_n + h, y_n + k_3)$ $y_{n+1} = y_n + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$

线性方程组求解

高斯消元法

高斯消元法（Gaussian Elimination）是求解线性方程组的方法。

步骤：

1. 将增广矩阵化为上三角矩阵
2. 回代求解

例子：求解

2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$$ - 增广矩阵：$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ - 行变换：$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 0 & -1.5 & -1.5 \end{pmatrix}$ - 回代：$y = 1$，$x = 2$ ### 迭代法 **雅可比迭代法**（Jacobi Iteration）和**高斯-赛德尔迭代法**（Gauss-Seidel Iteration）是求解大型线性方程组的迭代方法。 ## 误差分析 ### 截断误差 **截断误差**（Truncation Error）是由于近似方法本身产生的误差。 ### 舍入误差 **舍入误差**（Round-off Error）是由于计算机表示数字的精度限制产生的误差。 ### 总误差 **总误差** = 截断误差 + 舍入误差 ## 数值方法的应用 ### 科学计算 - 🔬 **物理模拟**：模拟物理过程 - 📊 **数据分析**：分析实验数据 ### 工程计算 - 🏗️ **结构分析**：分析工程结构 - ⚙️ **系统仿真**：仿真系统行为 ### 金融计算 - 💰 **期权定价**：计算期权价格 - 📈 **风险评估**：评估金融风险 ## 常见错误 ### 错误 1：步长选择不当 步长太大导致误差大，步长太小导致计算量大。 ### 错误 2：初值选择不当 初值选择不当可能导致迭代不收敛。 ### 错误 3：忽略误差 要分析数值方法的误差，确保结果可靠。 ## 小练习 1. 用二分法求 $x^3 - x - 1 = 0$ 在 $[1, 2]$ 内的根 2. 用梯形法计算 $\int_0^1 e^x dx$（$n = 4$） 3. 用欧拉法求解 $y' = -y$，$y(0) = 1$（$h = 0.1$，计算 3 步） 4. 应用题：在科学计算中，如何选择合适的数值方法？ --- > 💡 **小贴士**：数值方法是用数值计算近似求解数学问题的方法。记住：二分法简单但慢，牛顿法快但需要导数，梯形法简单，辛普森法更精确。掌握数值方法，你就能解决许多无法解析求解的问题！