矩阵运算

矩阵运算是线性代数的核心！掌握矩阵运算，是学习线性代数的关键。

矩阵的加法

定义

如果 $A = [a_{ij}]$ 和 $B = [b_{ij}]$ 都是 $m \times n$ 矩阵，则：

$$(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$$

条件

两个矩阵可以相加当且仅当它们的大小相同（行数和列数都相等）。

例子

例子：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$ $$A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$$

性质

• 交换律：$A + B = B + A$
• 结合律：$(A + B) + C = A + (B + C)$
• 零矩阵：$A + O = A$

矩阵的数乘

定义

如果 $A = [a_{ij}]$ 是 $m \times n$ 矩阵，$k$ 是实数，则：

$$(kA)_{ij} = ka_{ij}$$

例子

例子：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad 2A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$$

性质

• $k(A + B) = kA + kB$
• $(k + l)A = kA + lA$
• $(kl)A = k(lA)$

矩阵的乘法

定义

如果 $A = [a_{ij}]$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B = [b_{ij}]$ 是 $n \times p$ 矩阵，则 $C = AB$ 是 $m \times p$ 矩阵，其中：

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$$

条件

两个矩阵可以相乘当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

例子

例子 1：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$ $$AB = \begin{bmatrix} 1 \times 5 + 2 \times 7 & 1 \times 6 + 2 \times 8 \\ 3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$$

例子 2：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}$$ $$AB = \begin{bmatrix} 1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 32 \end{bmatrix}$$

性质

• 结合律：$(AB)C = A(BC)$
• 分配律：$A(B + C) = AB + AC$，$(A + B)C = AC + BC$
• 数乘：$k(AB) = (kA)B = A(kB)$
• 单位矩阵：$AI = IA = A$
• 转置：$(AB)^T = B^T A^T$

注意

矩阵乘法不满足交换律：一般情况下，$AB \neq BA$。

矩阵的幂

定义

如果 $A$ 是 $n \times n$ 方阵，则：

$$A^k = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{k \text{ 个}}$$

例子

例子：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ $$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ $$A^3 = A^2 A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

矩阵的转置

定义

矩阵 $A$ 的转置 $A^T$ 是将 $A$ 的行和列互换。

性质

• $(A^T)^T = A$
• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(kA)^T = kA^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$

生活中的应用

计算机图形学

• 💻 图形变换：用矩阵乘法进行图形变换
• 🎮 游戏开发：用矩阵进行游戏开发

数据科学

• 📊 数据处理：用矩阵运算处理数据
• 🤖 机器学习：用矩阵运算进行机器学习

工程

• ⚙️ 系统分析：用矩阵分析系统
• 🏗️ 结构分析：用矩阵分析结构

常见错误

错误 1：矩阵大小不匹配

两个矩阵相加或相乘时，要注意大小是否匹配。

错误 2：矩阵乘法交换律

矩阵乘法不满足交换律，$AB \neq BA$。

错误 3：转置公式错误

$(AB)^T = B^T A^T$，不是 $A^T B^T$。

小练习

1. 如果 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$，求 $A + B$ 和 $AB$
2. 如果 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求 $2A$ 和 $A^2$
3. 如果 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求 $A^T$
4. 应用题：用矩阵表示线性变换，计算变换后的向量

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💡 小贴士：矩阵运算是线性代数的核心。记住：矩阵乘法不满足交换律，$(AB)^T = B^T A^T$。掌握矩阵运算，你就能解决很多线性代数问题！