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矩阵

矩阵是线性代数的核心！理解矩阵，是学习线性代数的关键。

什么是矩阵？​

矩阵（Matrix）是由数字排列成的矩形数组。

简单理解​

矩阵就像"数字的表格"：

  • 有行和列
  • 每个位置有一个数字
  • 可以用来表示数据和变换

表示方法​

矩阵通常用大写字母表示，如 AA、BB、CC。

一个 m×nm \times n 矩阵（mm 行，nn 列）可以表示为：

A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn]A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

其中 aija_{ij} 表示第 ii 行第 jj 列的元素。

矩阵的类型​

方阵​

方阵（Square Matrix）是行数和列数相等的矩阵。

例子：3×33 \times 3 矩阵

[123456789]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}

行向量​

行向量（Row Vector）是只有一行的矩阵。

例子：1×31 \times 3 矩阵

[123]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}

列向量​

列向量（Column Vector）是只有一列的矩阵。

例子：3×13 \times 1 矩阵

[123]\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}

零矩阵​

零矩阵（Zero Matrix）是所有元素都是 0 的矩阵，记作 OO。

例子：2×22 \times 2 零矩阵

[0000]\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

单位矩阵​

单位矩阵（Identity Matrix）是主对角线上的元素都是 1，其他元素都是 0 的方阵，记作 II。

例子：3×33 \times 3 单位矩阵

I=[100010001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

对角矩阵​

对角矩阵（Diagonal Matrix）是主对角线以外的元素都是 0 的方阵。

例子：

[200030004]\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}

上三角矩阵​

上三角矩阵（Upper Triangular Matrix）是主对角线以下的元素都是 0 的方阵。

例子：

[123045006]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}

下三角矩阵​

下三角矩阵（Lower Triangular Matrix）是主对角线以上的元素都是 0 的方阵。

例子：

[100230456]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}

矩阵的转置​

定义​

矩阵的转置（Transpose）是将矩阵的行和列互换，记作 ATA^T。

如果 A=[aij]A = [a_{ij}]，则 AT=[aji]A^T = [a_{ji}]。

例子​

例子：

A=[123456],AT=[142536]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, \quad A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}

性质​

  • (AT)T=A(A^T)^T = A
  • (A+B)T=AT+BT(A + B)^T = A^T + B^T
  • (kA)T=kAT(kA)^T = kA^T
  • (AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T

矩阵的迹​

定义​

矩阵的迹（Trace）是方阵主对角线上元素的和，记作 tr(A)\text{tr}(A)。

tr(A)=a11+a22+⋯+ann\text{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}

例子​

例子：

A=[123456789],tr(A)=1+5+9=15A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}, \quad \text{tr}(A) = 1 + 5 + 9 = 15

生活中的应用​

数据表示​

  • 📊 数据表格：用矩阵表示数据
  • 📈 统计分析：用矩阵进行统计分析

图形变换​

  • 💻 计算机图形学：用矩阵进行图形变换
  • 🎮 游戏开发：用矩阵进行游戏开发

线性方程组​

  • 🔢 求解方程组：用矩阵求解线性方程组

常见错误​

错误 1：矩阵和行列式混淆​

  • 矩阵：数字的矩形数组
  • 行列式：矩阵的一个数值

错误 2：矩阵大小混淆​

要注意矩阵的行数和列数，不同大小的矩阵不能直接运算。

错误 3：转置错误​

转置是行和列互换，不是简单的旋转。

小练习​

  1. 写出一个 2×32 \times 3 矩阵的例子
  2. 写出 3×33 \times 3 单位矩阵
  3. 如果 A=[1234]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}，求 ATA^T
  4. 如果 A=[123456789]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}，求 tr(A)\text{tr}(A)

💡 小贴士：矩阵是数字的矩形数组。记住：矩阵有行和列，转置是行和列互换。掌握矩阵的基本概念，你就能进行矩阵运算！