逻辑运算

逻辑运算是组合命题、进行推理的基本操作。掌握逻辑运算，你就能进行复杂的逻辑推理！

什么是逻辑运算？

逻辑运算是对命题进行组合和变换的操作，通过逻辑连接词来实现。

基本逻辑运算

1. 非运算（NOT）- $\neg$ 或 $\sim$

定义：$\neg P$ 表示"不是 $P$"

真值表：

$P$	$\neg P$
T	F
F	T

性质：

• $\neg(\neg P) = P$（双重否定等于肯定）

例子：

• 如果 $P$ 表示"今天下雨"
• 那么 $\neg P$ 表示"今天不下雨"

2. 与运算（AND）- $\land$ 或 $\&$

定义：$P \land Q$ 表示"$P$ 并且 $Q$"

真值表：

$P$	$Q$	$P \land Q$
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

性质：

• $P \land Q = Q \land P$（交换律）
• $(P \land Q) \land R = P \land (Q \land R)$（结合律）
• $P \land P = P$（幂等律）
• $P \land T = P$（$T$ 表示真命题）
• $P \land F = F$（$F$ 表示假命题）

例子：

• 如果 $P$ 表示"今天是星期一"，$Q$ 表示"是晴天"
• 那么 $P \land Q$ 表示"今天是星期一并且是晴天"

3. 或运算（OR）- $\lor$

定义：$P \lor Q$ 表示"$P$ 或者 $Q$"（至少一个成立）

真值表：

$P$	$Q$	$P \lor Q$
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

性质：

• $P \lor Q = Q \lor P$（交换律）
• $(P \lor Q) \lor R = P \lor (Q \lor R)$（结合律）
• $P \lor P = P$（幂等律）
• $P \lor T = T$
• $P \lor F = P$

例子：

• 如果 $P$ 表示"今天是星期一"，$Q$ 表示"今天是星期二"
• 那么 $P \lor Q$ 表示"今天是星期一或者今天是星期二"

4. 蕴含运算（IF...THEN）- $\to$ 或 $\Rightarrow$

定义：$P \to Q$ 表示"如果 $P$，那么 $Q$"

真值表：

$P$	$Q$	$P \to Q$
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

性质：

• $P \to Q = \neg P \lor Q$（蕴含的等价形式）

例子：

• 如果 $P$ 表示"今天下雨"，$Q$ 表示"我带伞"
• 那么 $P \to Q$ 表示"如果今天下雨，那么我带伞"

5. 等价运算（IF AND ONLY IF）- $\leftrightarrow$ 或 $\Leftrightarrow$

定义：$P \leftrightarrow Q$ 表示"$P$ 当且仅当 $Q$"

真值表：

$P$	$Q$	$P \leftrightarrow Q$
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

性质：

• $P \leftrightarrow Q = (P \to Q) \land (Q \to P)$（等价的定义）

例子：

• 如果 $P$ 表示"$x$ 是偶数"，$Q$ 表示"$x$ 能被 2 整除"
• 那么 $P \leftrightarrow Q$ 表示"$x$ 是偶数当且仅当 $x$ 能被 2 整除"

逻辑运算律

交换律

• $P \land Q = Q \land P$
• $P \lor Q = Q \lor P$

结合律

• $(P \land Q) \land R = P \land (Q \land R)$
• $(P \lor Q) \lor R = P \lor (Q \lor R)$

分配律

• $P \land (Q \lor R) = (P \land Q) \lor (P \land R)$
• $P \lor (Q \land R) = (P \lor Q) \land (P \lor R)$

德·摩根定律

• $\neg(P \land Q) = (\neg P) \lor (\neg Q)$
• $\neg(P \lor Q) = (\neg P) \land (\neg Q)$

记忆：否定时，"并且"变"或者"，"或者"变"并且"

吸收律

• $P \land (P \lor Q) = P$
• $P \lor (P \land Q) = P$

矛盾律和排中律

• 矛盾律：$P \land (\neg P) = F$（不能同时为真和假）
• 排中律：$P \lor (\neg P) = T$（要么真要么假）

复合逻辑运算

例子 1

复合命题：$(P \land Q) \to R$

含义："如果 $P$ 并且 $Q$，那么 $R$"

真值表：

$P$	$Q$	$R$	$P \land Q$	$(P \land Q) \to R$
T	T	T	T	T
T	T	F	T	F
T	F	T	F	T
T	F	F	F	T
F	T	T	F	T
F	T	F	F	T
F	F	T	F	T
F	F	F	F	T

例子 2

复合命题：$\neg(P \to Q) \leftrightarrow (P \land \neg Q)$

含义："不是（如果 $P$ 那么 $Q$）"等价于"$P$ 并且不是 $Q$"

逻辑运算的优先级

优先级（从高到低）

1. $\neg$（非）
2. $\land$（与）
3. $\lor$（或）
4. $\to$（蕴含）
5. $\leftrightarrow$（等价）

例子

• $\neg P \land Q$ 表示 $(\neg P) \land Q$，不是 $\neg(P \land Q)$
• $P \lor Q \to R$ 表示 $(P \lor Q) \to R$，不是 $P \lor (Q \to R)$

生活中的应用

编程

• 💻 布尔运算：if (条件1 && 条件2) 表示"条件1 并且 条件2"
• 💻 逻辑判断：if (条件1 || 条件2) 表示"条件1 或者 条件2"

电路设计

• ⚡ 逻辑门：与门、或门、非门等
• 🔌 数字电路：用逻辑运算设计电路

数据库查询

• 💾 SQL查询：WHERE 条件1 AND 条件2
• 📊 数据筛选：用逻辑运算筛选数据

常见错误

错误 1：优先级错误

要注意逻辑运算的优先级，必要时加括号。

错误 2：德·摩根定律应用错误

否定复合命题时，要同时改变连接词。

错误 3：蕴含的真值

当条件为假时，蕴含为真（空真），这常常让人困惑。

小练习

1. 如果 $P$ 为真，$Q$ 为假，求 $P \land Q$ 和 $P \lor Q$ 的真值
2. 用真值表验证：$\neg(P \land Q) = (\neg P) \lor (\neg Q)$
3. 化简：$(P \land Q) \lor (P \land \neg Q)$
4. 如果 $P$ 为假，$Q$ 为真，求 $P \to Q$ 的真值

---

💡 小贴士：逻辑运算是组合命题的工具。掌握逻辑运算律，特别是德·摩根定律，能帮你简化复杂的逻辑表达式！