逻辑基础

逻辑是数学推理的基础！让我们从最基础的概念开始，理解逻辑的本质。

什么是逻辑？

逻辑（Logic）是研究推理和论证的学科，帮助我们判断命题的真假，进行正确的推理。

简单来说，逻辑就像"规则"：

• 告诉我们什么是对的，什么是错的
• 告诉我们如何从已知推出未知
• 帮助我们避免推理错误

命题

什么是命题？

命题（Proposition）是可以判断真假的陈述句。

命题的特征：

1. 必须是陈述句：不能是疑问句、感叹句等
2. 必须有真假：要么真，要么假，不能模棱两可
3. 真假是确定的：在给定条件下，命题的真假是确定的

例子

是命题的例子：

• "2 + 2 = 4"（真命题）
• "地球是圆的"（真命题）
• "1 + 1 = 3"（假命题）
• "今天下雨"（是命题，但真假取决于实际情况）

不是命题的例子：

• "你好吗？"（疑问句，不是命题）
• "太棒了！"（感叹句，不是命题）
• "这个数是偶数"（没有指明是哪个数，不是命题）

真值

真值表

命题的真假叫做真值（Truth Value）。

• 真（True）：用 T 或 1 表示
• 假（False）：用 F 或 0 表示

例子

命题	真值
2 + 2 = 4	真（T）
1 + 1 = 3	假（F）
地球是圆的	真（T）

命题的分类

简单命题

简单命题是不能分解为更简单命题的命题。

例子：

• "今天是星期一"
• "3 > 2"
• "小明是学生"

复合命题

复合命题是由简单命题通过逻辑连接词组合而成的命题。

例子：

• "今天是星期一并且是晴天"（用"并且"连接）
• "3 > 2或者1 > 2"（用"或者"连接）
• "不是今天下雨"（用"不是"连接）

逻辑连接词

基本连接词

逻辑连接词用来组合命题，形成复合命题。

1. 非（NOT）- $\neg$ 或 $\sim$

含义：否定，表示"不是"

例子：

• 如果 $P$ 表示"今天下雨"
• 那么 $\neg P$ 表示"今天不下雨"

真值表：

$P$	$\neg P$
T	F
F	T

2. 与（AND）- $\land$ 或 $\&$

含义：同时成立，表示"并且"

例子：

• 如果 $P$ 表示"今天是星期一"，$Q$ 表示"是晴天"
• 那么 $P \land Q$ 表示"今天是星期一并且是晴天"

真值表：

$P$	$Q$	$P \land Q$
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

规律：只有当 $P$ 和 $Q$ 都为真时，$P \land Q$ 才为真。

3. 或（OR）- $\lor$

含义：至少一个成立，表示"或者"

例子：

• 如果 $P$ 表示"今天是星期一"，$Q$ 表示"今天是星期二"
• 那么 $P \lor Q$ 表示"今天是星期一或者今天是星期二"

真值表：

$P$	$Q$	$P \lor Q$
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

规律：只要 $P$ 或 $Q$ 中有一个为真，$P \lor Q$ 就为真。

4. 蕴含（IF...THEN）- $\to$ 或 $\Rightarrow$

含义：如果...那么，表示"如果 $P$ 则 $Q$"

例子：

• 如果 $P$ 表示"今天下雨"，$Q$ 表示"我带伞"
• 那么 $P \to Q$ 表示"如果今天下雨，那么我带伞"

真值表：

$P$	$Q$	$P \to Q$
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

规律：只有当 $P$ 为真且 $Q$ 为假时，$P \to Q$ 才为假。

注意：当 $P$ 为假时，无论 $Q$ 是什么，$P \to Q$ 都为真（这叫做"空真"）。

5. 等价（IF AND ONLY IF）- $\leftrightarrow$ 或 $\Leftrightarrow$

含义：当且仅当，表示"$P$ 当且仅当 $Q$"

例子：

• 如果 $P$ 表示"这个数是偶数"，$Q$ 表示"这个数能被 2 整除"
• 那么 $P \leftrightarrow Q$ 表示"这个数是偶数当且仅当这个数能被 2 整除"

真值表：

$P$	$Q$	$P \leftrightarrow Q$
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

规律：只有当 $P$ 和 $Q$ 的真值相同时，$P \leftrightarrow Q$ 才为真。

逻辑等价

定义

如果两个复合命题在所有情况下真值都相同，则它们是逻辑等价的。

例子

德·摩根定律（De Morgan's Laws）：

1. $\neg(P \land Q) \Leftrightarrow (\neg P) \lor (\neg Q)$

   • "不是（P 并且 Q）"等价于"（不是 P）或者（不是 Q）"

2. $\neg(P \lor Q) \Leftrightarrow (\neg P) \land (\neg Q)$

   • "不是（P 或者 Q）"等价于"（不是 P）并且（不是 Q）"

生活中的应用

编程

• 💻 条件判断：if (条件1 && 条件2) 表示"条件1 并且 条件2"
• 💻 逻辑运算：if (条件1 || 条件2) 表示"条件1 或者 条件2"

日常推理

• 🧠 决策：用逻辑分析问题，做出正确决策
• 🔍 论证：用逻辑检验论证是否正确

常见错误

错误 1：混淆"或"的含义

在逻辑中，"或"是"至少一个成立"（包含两者都成立），不是"只能一个成立"。

错误 2：蕴含的真值

当 $P$ 为假时，$P \to Q$ 为真（空真），这常常让人困惑。

错误 3：否定错误

否定一个复合命题时，要同时否定连接词（"并且"变"或者"，"或者"变"并且"）。

小练习

1. 判断："2 + 2 = 5"是命题吗？如果是，它的真值是什么？
2. 如果 $P$ 为真，$Q$ 为假，求 $P \land Q$ 和 $P \lor Q$ 的真值
3. 用真值表验证：$\neg(P \land Q) \Leftrightarrow (\neg P) \lor (\neg Q)$
4. 如果"今天下雨"为真，"我带伞"为假，那么"如果今天下雨，那么我带伞"的真值是什么？

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💡 小贴士：逻辑是推理的基础。掌握逻辑连接词和真值表，你就能进行严谨的逻辑推理。记住：逻辑中的"或"是"至少一个成立"，不是"只能一个成立"！