对数函数
对数函数是指数函数的反函数，在科学计算、 数据处理、信息论等领域应用广泛！
什么是对数函数？
对数函数是形如 y = logₐx（a > 0 且 a ≠ 1）的函数。
其中：
- a：底数（必须大于 0 且不等于 1）
- x：真数（自变量，x > 0）
- y：对数值（因变量）
读法：y = logₐx 读作"以 a 为底 x 的对数等于 y"
意义：y = logₐx 表示 aʸ = x
特殊形式：
- 当 a = e 时，y = ln x，叫做自然对数
- 当 a = 10 时，y = lg x，叫做常用对数
对数函数的图像
图像特征
对数函数的图像是一条曲线，经过点 (1, 0)。
图像的位置
- a > 1：图像从左到右上升
- 0 < a < 1：图像从左到右下降
渐近线
- y 轴（x = 0）是垂直渐近线
- 图像永远在 y 轴右侧（x > 0）
如何画对数函数的图像？
方法：描点法
- 列出一些 x 和对应的 y 值
- 在坐标系中标出这些点
- 用平滑曲线连接这些点
- 注意图像经过点 (1, 0)
例子 1：y = log₂x
| x | y = log₂x |
|---|---|
| 1/4 | -2 |
| 1/2 | -1 |
| 1 | 0 |
| 2 | 1 |
| 4 | 2 |
| 8 | 3 |
例子 2：y = log₁/₂x
| x | y = log₁/₂x |
|---|---|
| 1/8 | 3 |
| 1/4 | 2 |
| 1/2 | 1 |
| 1 | 0 |
| 2 | -1 |
| 4 | -2 |
对数函数的性质
定义域和值域
- 定义域：(0, +∞)（x 必须大于 0）
- 值域：所有实数 (-∞, +∞)
单调性
- a > 1：单调递增
- 0 < a < 1：单调递减
特殊点
- 经过点 (1, 0)：logₐ1 = 0
- 经过点 (a, 1)：logₐa = 1
- 当 x → 0⁺ 时，y → -∞
- 当 x → +∞ 时：
- 如果 a > 1：y → +∞
- 如果 0 < a < 1：y → -∞
对数运算法则
- logₐ(xy) = logₐx + logₐy（积的对数）
- logₐ(x/y) = logₐx - logₐy（商的对数）
- logₐ(xⁿ) = n logₐx（幂的对数）
- logₐa = 1，logₐ1 = 0
- 换底公式：logₐx = logᵦx / logᵦa
对数函数与指数函数
反函数关系
对数函数 y = logₐx 和指数函数 y = aˣ 是反函数关系：
- 如果 y = aˣ，则 x = logₐy
- 如果 y = logₐx，则 x = aʸ
它们的图像关于直线 y = x 对称。
互化
- aʸ = x ⟺ y = logₐx
- 这是指数式和对数式的互化
生活中的应用
声音强度
- 🔊 声音强度用分贝（dB）表示
- 分贝 = 10 log₁₀(I/I₀)
- I 是声音强度，I₀ 是参考强度
- 这是对数函数
地震强度
- 🌍 地震用里氏震级表示
- 震级 = log₁₀(A/A₀)
- A 是地震振幅，A₀ 是参考振幅
- 这是对数函数
pH 值
- 🧪 溶液的酸碱度用 pH 值表示
- pH = -log₁₀[H⁺]
- [H⁺] 是氢离子浓度
- 这是对数函数
信息论
- 💻 信息量用对数表示
- 信息量 = -log₂P
- P 是事件发生的概率
- 这是对数函数
自然对数和常用对数
自然对数
自然对数：y = ln x = logₑx
- 底数是自然常数 e ≈ 2.71828...
- 在微积分和科学计算中非常重要
常用对数
常用对数：y = lg x = log₁₀x
- 底数是 10
- 在工程和科学计算中常用
换底公式的应用
任何对数都可以用自然对数或常用对数表示：
logₐx = ln x / ln a = lg x / lg a
常见错误
错误 1：真数 x ≤ 0
❌ 错误：log₂(-2) 有意义
✅ 正确：对数的真数必须 > 0
错误 2：底数 a ≤ 0 或 a = 1
❌ 错误：log₁x 有意义
✅ 正确：底数必须 > 0 且 ≠ 1
错误 3：对数运算法则错误
❌ 错误：logₐ(x + y) = logₐx + logₐy
✅ 正确：logₐ(xy) = logₐx + logₐy
小练习
- 画出函数 y = log₃x 的图像
- 计算：log₂8 + log₂2
- 化简：log₅(x²y³)
- 应用题：声音强度增加 10 倍，分贝增加多少？
💡 小贴士：对数函数是指数函数的反函数，描述"增长缓慢"的过程。记住真数必须 > 0，图像永远在 y 轴右侧，经过点 (1, 0) ！