跳到主要内容

对数方程

对数方程是未知数出现在对数中的方程。解对数方程的关键是"去对数"，通常需要用到指数的知识！

什么是对数方程？​

对数方程是未知数出现在对数中的方程。

基本形式​

logₐx = b  （a > 0 且 a ≠ 1，x > 0）

例子：

  • log₂x = 3
  • lg x = 2
  • log₃(x + 1) = 2
  • log₂x + log₂(x + 1) = 3

解对数方程的方法​

方法 1：利用对数的定义（最常用）​

根据对数的定义，把对数式转化为指数式。

步骤​

  1. 把对数式转化为指数式
  2. 解出未知数
  3. 检验（⚠️ 非常重要！确保真数 > 0）

例子 1：简单情况​

log₂x = 3

步骤：

  1. 转化为指数式：x = 2³ = 8
  2. 检验：x = 8 > 0 ✓，log₂8 = 3 ✓
  3. 所以解是：x = 8

例子 2：常用对数​

lg x = 2

步骤：

  1. 转化为指数式：x = 10² = 100
  2. 检验：x = 100 > 0 ✓，lg 100 = 2 ✓
  3. 所以解是：x = 100

例子 3：真数是表达式​

log₃(x + 1) = 2

步骤：

  1. 转化为指数式：x + 1 = 3² = 9
  2. 求解：x = 9 - 1 = 8
  3. 检验：x + 1 = 9 > 0 ✓，log₃9 = 2 ✓
  4. 所以解是：x = 8

方法 2：利用对数的运算法则​

如果方程中有多个对数，先利用运算法则化简。

例子 1：积的对数​

log₂x + log₂(x + 1) = 3

步骤：

  1. 利用积的对数法则：log₂[x(x + 1)] = 3
  2. 转化为指数式：x(x + 1) = 2³ = 8
  3. 展开：x² + x = 8
  4. 移项：x² + x - 8 = 0
  5. 用公式法求解： 
    x = [-1 ± √(1 + 32)] / 2 = [-1 ± √33] / 2
  6. 检验：
    • x = (-1 + √33)/2 ≈ 2.37 > 0 ✓
    • x = (-1 - √33)/2 ≈ -3.37 < 0 ✗（舍去）
  7. 所以解是：x = (-1 + √33)/2

例子 2：商的对数​

log₃x - log₃(x - 2) = 1

步骤：

  1. 利用商的对数法则：log₃[x/(x - 2)] = 1
  2. 转化为指数式：x/(x - 2) = 3¹ = 3
  3. 交叉相乘：x = 3(x - 2)
  4. 展开：x = 3x - 6
  5. 移项：2x = 6
  6. 求解：x = 3
  7. 检验：x = 3 > 0 ✓，x - 2 = 1 > 0 ✓，log₃3 - log₃1 = 1 - 0 = 1 ✓
  8. 所以解是：x = 3

例子 3：幂的对数​

2 log₂x = 4

步骤：

  1. 利用幂的对数法则：log₂(x²) = 4
  2. 转化为指数式：x² = 2⁴ = 16
  3. 求解：x = ±4
  4. 检验：
    • x = 4 > 0 ✓，2 log₂4 = 2 × 2 = 4 ✓
    • x = -4 < 0 ✗（舍去，因为真数必须 > 0）
  5. 所以解是：x = 4

方法 3：换底公式​

如果底数不同，可以用换底公式统一底数。

例子​

log₂x = log₄16

步骤：

  1. 先计算 log₄16：
    • 因为 4² = 16，所以 log₄16 = 2
  2. 所以：log₂x = 2
  3. 转化为指数式：x = 2² = 4
  4. 检验：x = 4 > 0 ✓，log₂4 = 2 ✓
  5. 所以解是：x = 4

特殊类型的对数方程​

类型 1：logₐx = logₐy​

如果 logₐx = logₐy（a > 0 且 a ≠ 1），则 x = y（x, y > 0）。

例子：

  • log₂x = log₂8，所以 x = 8

类型 2：不同底数的对数相等​

如果 logₐx = logᵦy，通常需要换底或分别转化为指数式。

例子：

  • log₂x = log₃9
  • 先计算 log₃9 = 2
  • 所以 log₂x = 2
  • 转化为指数式：x = 2² = 4

检验的重要性​

为什么必须检验？​

对数方程的解必须满足：

  1. 真数 > 0
  2. 底数 > 0 且 ≠ 1

不满足这些条件的解是增根，必须舍去。

检验步骤​

  1. 检查真数是否 > 0
  2. 检查底数是否 > 0 且 ≠ 1
  3. 代入原方程验证等式是否成立

例子：识别增根​

log₂(x - 1) = 2

步骤：

  1. 转化为指数式：x - 1 = 2² = 4
  2. 求解：x = 5
  3. 检验：x - 1 = 4 > 0 ✓，log₂4 = 2 ✓
  4. 所以解是：x = 5

如果得到 x = 0：

  • x - 1 = -1 < 0 ✗
  • 这是增根，必须舍去

生活中的应用​

声音强度​

  • 🔊 声音强度增加 100 倍，分贝增加多少？
    • 分贝 = 10 lg(I/I₀)
    • 如果 I 增加 100 倍：分贝 = 10 lg(100I₀/I₀) = 10 lg 100 = 10 × 2 = 20
    • 分贝增加 20

pH 值​

  • 🧪 溶液的氢离子浓度是原来的 1/10，pH 值如何变化？
    • pH = -lg[H⁺]
    • 如果 [H⁺] 变为原来的 1/10：pH = -lg([H⁺]/10) = -lg[H⁺] + lg 10 = 原pH + 1
    • pH 值增加 1

常见错误​

错误 1：忘记检验​

解对数方程必须检验，确保真数 > 0！

错误 2：真数为负或零​

❌ 错误：log₂(-4) = 2，所以 -4 = 2² = 4
✅ 正确：对数的真数必须 > 0

错误 3：对数运算法则错误​

❌ 错误：log₂x + log₂y = log₂(x + y)
✅ 正确：log₂x + log₂y = log₂(xy)

错误 4：忽略定义域​

解对数方程时，要特别注意定义域（真数 > 0）。

小练习​

  1. 解方程：log₂x = 4
  2. 解方程：lg x = -1
  3. 解方程：log₃(x - 2) = 2
  4. 解方程：log₂x + log₂(x + 1) = 2
  5. 应用题：声音强度增加 1000 倍，分贝增加多少？

💡 小贴士：解对数方程的关键是"去对数"——转化为指数式。记住：必须检验，确保真数 > 0，否则会得到增根！