对数方程
对数方程是未知数出现在对数中的方程。解对数方程的关键是"去对数"，通常需要用到指数的知识！
什么是对数方程？
对数方程是未知数出现在对数中的方程。
基本形式
logₐx = b （a > 0 且 a ≠ 1，x > 0）
例子：
- log₂x = 3
- lg x = 2
- log₃(x + 1) = 2
- log₂x + log₂(x + 1) = 3
解对数方程的方法
方法 1：利用对数的定义（最常用）
根据对数的定义，把对数式转化为指数式。
步骤
- 把对数式转化为指数式
- 解出未知数
- 检验（⚠️ 非常重要！确保真数 > 0）
例子 1：简单情况
log₂x = 3
步骤：
- 转化为指数式：x = 2³ = 8
- 检验：x = 8 > 0 ✓，log₂8 = 3 ✓
- 所以解是：x = 8
例子 2：常用对数
lg x = 2
步骤：
- 转化为指数式：x = 10² = 100
- 检验：x = 100 > 0 ✓，lg 100 = 2 ✓
- 所以解是：x = 100
例子 3：真数是表达式
log₃(x + 1) = 2
步骤：
- 转化为指数式：x + 1 = 3² = 9
- 求解：x = 9 - 1 = 8
- 检验：x + 1 = 9 > 0 ✓，log₃9 = 2 ✓
- 所以解是：x = 8
方法 2：利用对数的运算法则
如果方程中有多个对数，先利用运算法则化简。
例子 1：积的对数
log₂x + log₂(x + 1) = 3
步骤：
- 利用积的对数法则：log₂[x(x + 1)] = 3
- 转化为指数式：x(x + 1) = 2³ = 8
- 展开：x² + x = 8
- 移项：x² + x - 8 = 0
- 用公式法求解：
x = [-1 ± √(1 + 32)] / 2 = [-1 ± √33] / 2 - 检验：
- x = (-1 + √33)/2 ≈ 2.37 > 0 ✓
- x = (-1 - √33)/2 ≈ -3.37 < 0 ✗（舍去）
- 所以解是：x = (-1 + √33)/2
例子 2：商的对数
log₃x - log₃(x - 2) = 1
步骤：
- 利用商的对数法则：log₃[x/(x - 2)] = 1
- 转化为指数式：x/(x - 2) = 3¹ = 3
- 交叉相乘：x = 3(x - 2)
- 展开：x = 3x - 6
- 移项：2x = 6
- 求解：x = 3
- 检验：x = 3 > 0 ✓，x - 2 = 1 > 0 ✓，log₃3 - log₃1 = 1 - 0 = 1 ✓
- 所以解是：x = 3
例子 3：幂的对数
2 log₂x = 4
步骤：
- 利用幂的对数法则：log₂(x²) = 4
- 转化为指数式：x² = 2⁴ = 16
- 求解：x = ±4
- 检验：
- x = 4 > 0 ✓，2 log₂4 = 2 × 2 = 4 ✓
- x = -4 < 0 ✗（舍去，因为真数必须 > 0）
- 所以解是：x = 4
方法 3：换底公式
如果底数不同，可以用换底公式统一底数。
例子
log₂x = log₄16
步骤：
- 先计算 log₄16：
- 因为 4² = 16，所以 log₄16 = 2
- 所以：log₂x = 2
- 转化为指数式：x = 2² = 4
- 检验：x = 4 > 0 ✓，log₂4 = 2 ✓
- 所以解是：x = 4
特殊类型的对数方程
类型 1：logₐx = logₐy
如果 logₐx = logₐy（a > 0 且 a ≠ 1），则 x = y（x, y > 0）。
例子：
- log₂x = log₂8，所以 x = 8
类型 2：不同底数的对数相等
如果 logₐx = logᵦy，通常需要换底或分别转化为指数式。
例子：
- log₂x = log₃9
- 先计算 log₃9 = 2
- 所以 log₂x = 2
- 转化为指数式：x = 2² = 4
检验的重要性
为什么必须检验？
对数方程的解必须满足：
- 真数 > 0
- 底数 > 0 且 ≠ 1
不满足这些条件的解是增根，必须舍去。
检验步骤
- 检查真数是否 > 0
- 检查底数是否 > 0 且 ≠ 1
- 代入原方程验证等式是否成立
例子：识别增根
log₂(x - 1) = 2
步骤：
- 转化为指数式：x - 1 = 2² = 4
- 求解：x = 5
- 检验：x - 1 = 4 > 0 ✓，log₂4 = 2 ✓
- 所以解是：x = 5
如果得到 x = 0：
- x - 1 = -1 < 0 ✗
- 这是增根，必须舍去
生活中的应用
声音强度
- 🔊 声音强度增加 100 倍，分贝增加多少？
- 分贝 = 10 lg(I/I₀)
- 如果 I 增加 100 倍：分贝 = 10 lg(100I₀/I₀) = 10 lg 100 = 10 × 2 = 20
- 分贝增加 20
pH 值
- 🧪 溶液的氢离子浓度是原来的 1/10，pH 值如何变化？
- pH = -lg[H⁺]
- 如果 [H⁺] 变为原来的 1/10：pH = -lg([H⁺]/10) = -lg[H⁺] + lg 10 = 原pH + 1
- pH 值增加 1
常见错误
错误 1：忘记检验
解对数方程必须检验，确保真数 > 0！
错误 2：真数为负或零
❌ 错误：log₂(-4) = 2，所以 -4 = 2² = 4
✅ 正确：对数的真数必须 > 0
错误 3：对数运算法则错误
❌ 错误：log₂x + log₂y = log₂(x + y)
✅ 正确：log₂x + log₂y = log₂(xy)
错误 4：忽略定义域
解对数方程时，要特别注意定义域（真数 > 0）。
小练习
- 解方程：log₂x = 4
- 解方程：lg x = -1
- 解方程：log₃(x - 2) = 2
- 解方程：log₂x + log₂(x + 1) = 2
- 应用 题：声音强度增加 1000 倍，分贝增加多少？
💡 小贴士：解对数方程的关键是"去对数"——转化为指数式。记住：必须检验，确保真数 > 0，否则会得到增根！
