线性方程组

线性方程组是线性代数的重要应用！掌握线性方程组的求解方法，是学习线性代数的关键。

什么是线性方程组？

线性方程组（System of Linear Equations）是多个线性方程的集合。

一般形式

一个 $m$ 个方程、$n$ 个未知数的线性方程组：

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$

矩阵形式

线性方程组可以写成矩阵形式：

$$A\vec{x} = \vec{b}$$

其中：

• $A$：系数矩阵
• $\vec{x}$：未知数向量
• $\vec{b}$：常数向量

线性方程组的解

解的个数

线性方程组可能有：

• 唯一解：有且仅有一个解
• 无穷多解：有无限多个解
• 无解：没有解

判断方法

线性方程组 $A\vec{x} = \vec{b}$ 的解的情况：

• 唯一解：$\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\vec{b}]) = n$（未知数个数）
• 无穷多解：$\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\vec{b}]) < n$
• 无解：$\text{rank}(A) < \text{rank}([A|\vec{b}])$

求解方法

方法 1：高斯消元法

高斯消元法（Gaussian Elimination）是通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。

步骤：

1. 写出增广矩阵 $[A|\vec{b}]$
2. 通过初等行变换化为行阶梯形
3. 回代求解

例子：求解线性方程组

$$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 11 \end{cases}$$

增广矩阵：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & | & 5 \\ 3 & 4 & | & 11 \end{bmatrix}$$

初等行变换：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & | & 5 \\ 0 & -2 & | & -4 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 2 & | & 5 \\ 0 & 1 & | & 2 \end{bmatrix}$$

回代：

从第二个方程：$y = 2$

代入第一个方程：$x + 2 \times 2 = 5$，所以 $x = 1$

解：$x = 1$，$y = 2$

方法 2：逆矩阵法

如果 $A$ 是 $n \times n$ 方阵且可逆，则：

$$\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$$

例子：求解线性方程组

$$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 11 \end{cases}$$

矩阵形式：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 11 \end{bmatrix}$$

逆矩阵：

$$A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$$

解：

$$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

方法 3：克莱默法则

克莱默法则（Cramer's Rule）使用行列式求解线性方程组。

对于线性方程组 $A\vec{x} = \vec{b}$，如果 $\det(A) \neq 0$，则：

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$

其中 $A_i$ 是将 $A$ 的第 $i$ 列替换为 $\vec{b}$ 得到的矩阵。

例子：求解线性方程组

$$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 11 \end{cases}$$ $$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -2$$ $$x = \frac{\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 11 & 4 \end{vmatrix}}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 11 \end{vmatrix}}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$$

齐次线性方程组

定义

齐次线性方程组是常数项全为 0 的线性方程组：

$$A\vec{x} = \vec{0}$$

性质

• 零解：$\vec{x} = \vec{0}$ 总是解
• 非零解：当 $\text{rank}(A) < n$ 时，有非零解

生活中的应用

工程

• ⚙️ 电路分析：分析电路网络
• 🏗️ 结构分析：分析建筑和机械结构

经济

• 💰 经济模型：分析经济模型
• 📊 投入产出分析：分析投入产出关系

科学

• 🔬 物理问题：解决物理问题
• 🧪 化学问题：解决化学问题

常见错误

错误 1：矩阵大小不匹配

要注意系数矩阵和常数向量的维度。

错误 2：无解判断错误

要正确判断线性方程组是否有解。

错误 3：计算错误

要仔细计算，注意符号。

小练习

1. 用高斯消元法求解：$\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$
2. 用逆矩阵法求解：$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + 2y = 4 \end{cases}$
3. 用克莱默法则求解：$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 11 \end{cases}$
4. 应用题：一个工厂生产两种产品，已知生产关系和资源限制，建立线性方程组并求解

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💡 小贴士：线性方程组是线性代数的重要应用。记住：可以用高斯消元法、逆矩阵法、克莱默法则求解。掌握线性方程组的求解方法，你就能解决很多实际问题！