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一次函数

一次函数是最简单、最基础的函数！它的图像是一条直线，在生活中应用非常广泛。

什么是一次函数？​

一次函数是形如 y = kx + b（k ≠ 0）的函数。

其中：

  • k：斜率（slope），表示直线的倾斜程度
  • b：y 轴截距（y-intercept），表示直线与 y 轴的交点
  • x：自变量
  • y：因变量

特殊形式：

  • 当 b = 0 时，y = kx，叫做正比例函数
  • 当 k = 0 时，y = b，叫做常数函数（不是一次函数）

一次函数的图像​

图像特征​

一次函数的图像是一条直线。

如何画一次函数的图像？​

方法 1：两点法​

  1. 找出两个点
    • 当 x = 0 时，y = b，得到点 (0, b)
    • 当 x = 1 时，y = k + b，得到点 (1, k + b)
  2. 在坐标系中标出这两个点
  3. 用直尺连接两点，延长得到直线

方法 2：斜率和截距法​

  1. 在 y 轴上标出截距点 (0, b)
  2. 从 (0, b) 开始，按照斜率 k 移动
    • 如果 k = 2，向右 1 个单位，向上 2 个单位
    • 如果 k = -3，向右 1 个单位，向下 3 个单位
  3. 连接两点，延长得到直线

例子​

y = 2x + 1

  • 斜率 k = 2
  • y 轴截距 b = 1
  • 图像经过点 (0, 1)
  • 向右移动 1 个单位，向上移动 2 个单位，得到点 (1, 3)
  • 连接 (0, 1) 和 (1, 3)，得到直线

一次函数的性质​

单调性​

  • k > 0：函数单调递增（图像从左到右上升）
  • k < 0：函数单调递减（图像从左到右下降）
  • k = 0：函数是常数（图像是水平线）

奇偶性​

  • 当 b = 0 时，y = kx 是奇函数（关于原点对称）
  • 当 b ≠ 0 时，既不是奇函数也不是偶函数

定义域和值域​

  • 定义域：所有实数 (-∞, +∞)
  • 值域：所有实数 (-∞, +∞)

零点​

零点是使函数值为 0 的自变量值。

对于 y = kx + b：

  • 令 y = 0：kx + b = 0
  • 所以 x = -b/k（k ≠ 0）
  • 零点：(-b/k, 0)

斜率的意义​

斜率的计算​

如果知道直线上两点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂)：

k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

斜率的几何意义​

斜率表示直线的倾斜程度：

  • |k| 越大：直线越陡峭
  • |k| 越小：直线越平缓
  • k > 0：向右上方倾斜
  • k < 0：向右下方倾斜
  • k = 0：水平线

斜率的实际意义​

在不同问题中，斜率有不同的实际意义：

  • 速度问题：斜率 = 速度（距离/时间）
  • 费用问题：斜率 = 单价（费用/数量）
  • 温度问题：斜率 = 变化率（温度变化/时间）

生活中的应用​

速度问题​

  • 🚗 汽车以 60 公里/小时的速度行驶
    • 函数：s = 60t（s 是路程，t 是时间）
    • 斜率 k = 60（速度）
    • 图像：经过原点的直线

费用问题​

  • 💰 打车起步价 10 元，每公里 2 元
    • 函数：y = 2x + 10（y 是总费用，x 是公里数）
    • 斜率 k = 2（每公里费用）
    • 截距 b = 10（起步价）
    • 图像：不经过原点的直线

温度转换​

  • 🌡️ 摄氏度 C 转华氏度 F
    • 函数：F = (9/5)C + 32
    • 斜率 k = 9/5
    • 截距 b = 32
    • 图像：直线

存款问题​

  • 💵 银行账户有 1000 元，每月存入 200 元
    • 函数：y = 200x + 1000（y 是总金额，x 是月数）
    • 斜率 k = 200（每月存入金额）
    • 截距 b = 1000（初始金额）

一次函数与方程​

一次函数与一元一次方程​

一次函数 y = kx + b 与一元一次方程 kx + b = 0 的关系：

  • 方程的解 = 函数的零点
  • 方程 kx + b = 0 的解是 x = -b/k
  • 函数 y = kx + b 的零点是 x = -b/k

一次函数与不等式​

一次函数 y = kx + b 与不等式 kx + b > 0 的关系：

  • 不等式的解集 = 函数图像在 x 轴上方的 x 的取值范围
  • 如果 k > 0：kx + b > 0 的解是 x > -b/k
  • 如果 k < 0：kx + b > 0 的解是 x < -b/k

常见错误​

错误 1：忘记 k ≠ 0 的条件​

❌ 错误：y = 0x + 5 是一次函数
✅ 正确：y = 5 是常数函数，不是一次函数

错误 2：斜率计算错误​

❌ 错误：k = (x₂ - x₁) / (y₂ - y₁)
✅ 正确：k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

错误 3：混淆斜率和截距​

  • 斜率 k：表示倾斜程度
  • 截距 b：表示与 y 轴的交点

小练习​

  1. 画出函数 y = 2x + 3 的图像
  2. 求函数 y = -3x + 6 的零点和单调性
  3. 如果一次函数经过点 (0, 5) 和 (2, 9)，求函数表达式
  4. 应用题：手机套餐月租 30 元，每分钟通话 0.1 元，写出费用函数

💡 小贴士：一次函数的图像是直线，斜率 k 决定倾斜程度，截距 b 决定与 y 轴的交点。掌握了这两个参数，你就能完全掌握一次函数！