一次函数
一次函数是最简单、最基础的函数！它的图像是一条直线，在生活中应用非常广泛。
什么是一次函数？
一次函数是形如 y = kx + b（k ≠ 0）的函数。
其中：
- k：斜率（slope），表示直线的倾斜程度
- b：y 轴截距（y-intercept），表示直线与 y 轴的交点
- x：自变量
- y：因变量
特殊形式：
- 当 b = 0 时，y = kx，叫做正比例函数
- 当 k = 0 时，y = b，叫做常数函数（不是一次函数）
一次函数的图像
图像特征
一次函数的图像是一条直线。
如何画一次函数的图像？
方法 1：两点法
- 找出两个点
- 当 x = 0 时，y = b，得到点 (0, b)
- 当 x = 1 时，y = k + b，得到点 (1, k + b)
- 在坐标系中标出这两个点
- 用直尺连接两点，延长得到直线
方法 2：斜率和截距法
- 在 y 轴上标出截距点 (0, b)
- 从 (0, b) 开始，按照斜率 k 移动
- 如果 k = 2，向右 1 个单位，向上 2 个单位
- 如果 k = -3，向右 1 个单位，向下 3 个单位
- 连接两点，延长得到直线
例子
y = 2x + 1
- 斜率 k = 2
- y 轴截距 b = 1
- 图像经过点 (0, 1)
- 向右移动 1 个单位，向上移动 2 个单位，得到点 (1, 3)
- 连接 (0, 1) 和 (1, 3)，得到直线
一次函数的性质
单调性
- k > 0：函数单调递增（图像从左到右上升）
- k < 0：函数单调递减（图像从左到右下降）
- k = 0：函数是常数（图像是水平线）
奇偶性
- 当 b = 0 时，y = kx 是奇函数（关于原点对称）
- 当 b ≠ 0 时，既不是奇函数也不是偶函数
定义域和值域
- 定义域：所有实数 (-∞, +∞)
- 值域：所有实数 (-∞, +∞)
零点
零点是使函数值为 0 的自变量值。
对于 y = kx + b：
- 令 y = 0：kx + b = 0
- 所以 x = -b/k（k ≠ 0）
- 零点：(-b/k, 0)
斜率的意义
斜率的计算
如果知道直线上两点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂)：
k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
斜率的几何意义
斜率表示直线的倾斜程度：
- |k| 越大：直线越陡峭
- |k| 越小：直线越平缓
- k > 0：向右上方倾斜
- k < 0：向右下方倾斜
- k = 0：水平线
斜率的实际意义
在不同问题中，斜率有不同的实际意义：
- 速度问题：斜率 = 速度（距离/时间）
- 费用问题：斜率 = 单价（费用/数量）
- 温度问题：斜率 = 变化率（温度 变化/时间）
生活中的应用
速度问题
- 🚗 汽车以 60 公里/小时的速度行驶
- 函数：s = 60t（s 是路程，t 是时间）
- 斜率 k = 60（速度）
- 图像：经过原点的直线
费用问题
- 💰 打车起步价 10 元，每公里 2 元
- 函数：y = 2x + 10（y 是总费用，x 是公里数）
- 斜率 k = 2（每公里费用）
- 截距 b = 10（起步价）
- 图像：不经过原点的直线
温度转换
- 🌡️ 摄氏度 C 转华氏度 F
- 函数：F = (9/5)C + 32
- 斜率 k = 9/5
- 截距 b = 32
- 图像：直线
存款问题
- 💵 银行账户有 1000 元，每月存入 200 元
- 函数：y = 200x + 1000（y 是总金额，x 是月数）
- 斜率 k = 200（每月存入金额）
- 截距 b = 1000（初始金额）
一次函数与方程
一次函数与一元一次方程
一次函数 y = kx + b 与一元一次方程 kx + b = 0 的关系：
- 方程的解 = 函数的零点
- 方程 kx + b = 0 的解是 x = -b/k
- 函数 y = kx + b 的零点是 x = -b/k
一次函数与不等式
一次函数 y = kx + b 与不等式 kx + b > 0 的关系：
- 不等式的解集 = 函数图像在 x 轴上方的 x 的取值范围
- 如果 k > 0：kx + b > 0 的解是 x > -b/k
- 如果 k < 0：kx + b > 0 的解是 x < -b/k
常见错误
错误 1：忘记 k ≠ 0 的条件
❌ 错误：y = 0x + 5 是一次函数
✅ 正确：y = 5 是常数函数，不是一次函数
错误 2：斜率计算错误
❌ 错误：k = (x₂ - x₁) / (y₂ - y₁)
✅ 正确：k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
错误 3：混淆斜率和截距
- 斜率 k：表示倾斜程度
- 截距 b：表示与 y 轴的交点
小练习
- 画出函数 y = 2x + 3 的图像
- 求函数 y = -3x + 6 的零点和单调性
- 如果一次函数经过点 (0, 5) 和 (2, 9)，求函数表达式
- 应用题：手机套餐月租 30 元，每分钟通话 0.1 元，写出费用函数
💡 小贴士：一次函数的图像是直线，斜率 k 决定倾斜程度，截距 b 决定与 y 轴的交点。掌握了这两个参数，你就能完全掌握一次函数！
