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一元一次方程

一元一次方程是最简单、最基础的方程，也是我们学习方程的起点！掌握了它，你就能解决很多实际问题了。

什么是一元一次方程？​

一元一次方程是只含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的方程。

标准形式​

ax + b = 0  （a ≠ 0）

其中：

  • a：未知数的系数（不能为 0）
  • b：常数项
  • x：未知数

一般形式​

ax + b = c  （a ≠ 0）

例子：

x + 3 = 5        ← 一元一次方程
2x - 1 = 7       ← 一元一次方程
3x = 12          ← 一元一次方程（b = 0）
5 - 2x = 1       ← 一元一次方程

解一元一次方程​

基本步骤​

  1. 去括号（如果有）
  2. 移项（把含 x 的项移到一边，常数项移到另一边）
  3. 合并同类项
  4. 系数化为 1（把 x 的系数变成 1）
  5. 检验（把解代入原方程验证）

例子 1：简单方程​

x + 3 = 5

步骤：

  1. 移项：x = 5 - 3
  2. 计算：x = 2
  3. 检验：2 + 3 = 5 ✓

例子 2：有系数​

2x - 1 = 7

步骤：

  1. 移项：2x = 7 + 1
  2. 合并：2x = 8
  3. 系数化为 1：x = 8 ÷ 2
  4. 结果：x = 4
  5. 检验：2×4 - 1 = 8 - 1 = 7 ✓

例子 3：有括号​

3(x + 2) = 15

步骤：

  1. 去括号：3x + 6 = 15
  2. 移项：3x = 15 - 6
  3. 合并：3x = 9
  4. 系数化为 1：x = 9 ÷ 3
  5. 结果：x = 3
  6. 检验：3(3 + 2) = 3×5 = 15 ✓

例子 4：有分数​

(x + 1)/2 = 3

步骤：

  1. 去分母：两边同时乘以 2
    • (x + 1)/2 × 2 = 3 × 2
    • x + 1 = 6
  2. 移项：x = 6 - 1
  3. 结果：x = 5
  4. 检验：(5 + 1)/2 = 6/2 = 3 ✓

解方程的技巧​

技巧 1：先简化​

如果方程比较复杂，先化简：

2x + 3x - 1 = 14
5x - 1 = 14        （先合并同类项）
5x = 15
x = 3

技巧 2：去分母​

如果方程中有分数，先去分母：

(x - 1)/3 + 2 = 5

方法：找所有分母的最小公倍数，两边同时乘以它

(x - 1)/3 + 2 = 5
(x - 1)/3 × 3 + 2 × 3 = 5 × 3    （两边同时乘以 3）
x - 1 + 6 = 15
x + 5 = 15
x = 10

技巧 3：去括号​

去括号时注意符号：

3 - 2(x - 1) = 5
3 - 2x + 2 = 5      （注意：-2 × (-1) = +2）
5 - 2x = 5
-2x = 0
x = 0

生活中的应用​

购物问题​

  • 🛒 一个苹果 x 元，买了 5 个，花了 25 元
    • 方程：5x = 25
    • 解：x = 5（一个苹果 5 元）

年龄问题​

  • 👶 小明今年 x 岁，5 年后是 15 岁
    • 方程：x + 5 = 15
    • 解：x = 10（小明今年 10 岁）

数量问题​

  • 🍎 原来有 x 个苹果，吃了 3 个，还剩 7 个
    • 方程：x - 3 = 7
    • 解：x = 10（原来有 10 个苹果）

倍数问题​

  • 📚 一个数的 3 倍是 21，求这个数
    • 设这个数是 x
    • 方程：3x = 21
    • 解：x = 7

和差问题​

  • 🎯 两个数的和是 15，其中一个数是 8，求另一个数
    • 设另一个数是 x
    • 方程：x + 8 = 15
    • 解：x = 7

常见错误​

错误 1：移项时符号错误​

❌ 错误：x + 3 = 5，所以 x = 5 + 3
✅ 正确：x + 3 = 5，所以 x = 5 - 3

错误 2：去括号时符号错误​

❌ 错误：3 - 2(x - 1) = 3 - 2x - 2
✅ 正确：3 - 2(x - 1) = 3 - 2x + 2

错误 3：系数化为 1 时计算错误​

❌ 错误：2x = 8，所以 x = 8 × 2 = 16
✅ 正确：2x = 8，所以 x = 8 ÷ 2 = 4

错误 4：忘记检验​

解完方程后一定要检验，确保答案正确！

解方程的检验​

检验步骤​

  1. 把解代入原方程
  2. 计算左边和右边的值
  3. 看是否相等

例子​

方程：2x + 3 = 11 解：x = 4

检验：

  • 左边：2×4 + 3 = 8 + 3 = 11
  • 右边：11
  • 左边 = 右边 ✓
  • 所以 x = 4 是正确的解

小练习​

  1. 解方程：x + 5 = 12
  2. 解方程：3x - 2 = 10
  3. 解方程：2(x + 1) = 8
  4. 解方程：(x - 3)/2 = 4
  5. 应用题：一个数的 4 倍减 5 等于 15，求这个数

💡 小贴士：解一元一次方程就像"拆包装"一样，一步一步去掉外面的"包装"（括号、系数等），最后露出"真面目"（x 的值）！