拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是求解微分方程的重要工具！理解拉普拉斯变换，能帮助我们简化复杂的微分方程。

什么是拉普拉斯变换？

拉普拉斯变换（Laplace Transform）是将函数从时域转换到复频域的积分变换。

简单理解

拉普拉斯变换就像"把微分方程变成代数方程"：

• 把时域中的微分方程转换到复频域
• 在复频域中，微分变成乘法
• 求解代数方程后，再转换回时域

定义

函数 $f(t)$ 的拉普拉斯变换：

$F(s) = \mathcal{L}[f(t)] = \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} dt$

其中：

• $f(t)$ 是时域函数（$t \ge 0$）
• $F(s)$ 是复频域函数
• $s = \sigma + i\omega$ 是复变量

收敛域

拉普拉斯变换存在的条件是积分收敛，即存在 $\sigma_0$，使得当 $\text{Re}(s) > \sigma_0$ 时，积分收敛。

逆变换

拉普拉斯逆变换（Inverse Laplace Transform）：

$f(t) = \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma - i\infty}^{\sigma + i\infty} F(s) e^{st} ds$

拉普拉斯变换的性质

线性性质

$\mathcal{L}[af(t) + bg(t)] = aF(s) + bG(s)$

其中 $a, b$ 是常数。

时移性质

$\mathcal{L}[f(t - a) u(t - a)] = e^{-as} F(s)$

其中 $u(t)$ 是单位阶跃函数，$a > 0$。

频移性质

$\mathcal{L}[e^{at} f(t)] = F(s - a)$

尺度变换

$\mathcal{L}[f(at)] = \frac{1}{a} F\left(\frac{s}{a}\right) \quad (a > 0)$

微分性质

$\mathcal{L}[f'(t)] = sF(s) - f(0)$

$\mathcal{L}[f''(t)] = s^2 F(s) - sf(0) - f'(0)$

一般地：

$\mathcal{L}[f^{(n)}(t)] = s^n F(s) - s^{n-1} f(0) - s^{n-2} f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)$

积分性质

$\mathcal{L}\left[\int_0^t f(\tau) d\tau\right] = \frac{F(s)}{s}$

卷积定理

时域卷积对应复频域乘积：

$\mathcal{L}[f(t) * g(t)] = F(s) G(s)$

其中卷积定义为：

$f(t) * g(t) = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) d\tau$

初值定理

$\lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s)$

终值定理

$\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)$

（需要满足一定条件）

常见函数的拉普拉斯变换

单位阶跃函数

1 & \text{如果 } t \ge 0 \\ 0 & \text{如果 } t < 0 \end{cases}$$ $$\mathcal{L}[u(t)] = \frac{1}{s}$$ ### 指数函数 $$\mathcal{L}[e^{at}] = \frac{1}{s - a} \quad (\text{Re}(s) > \text{Re}(a))$$ ### 幂函数 $$\mathcal{L}[t^n] = \frac{n!}{s^{n+1}} \quad (n = 0, 1, 2, \ldots)$$ 特别地： $$\mathcal{L}[t] = \frac{1}{s^2}, \quad \mathcal{L}[t^2] = \frac{2}{s^3}$$ ### 正弦函数 $$\mathcal{L}[\sin(\omega t)] = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$$ ### 余弦函数 $$\mathcal{L}[\cos(\omega t)] = \frac{s}{s^2 + \omega^2}$$ ### 双曲正弦函数 $$\mathcal{L}[\sinh(at)] = \frac{a}{s^2 - a^2}$$ ### 双曲余弦函数 $$\mathcal{L}[\cosh(at)] = \frac{s}{s^2 - a^2}$$ ## 拉普拉斯变换的应用 ### 求解微分方程 拉普拉斯变换是求解微分方程的重要方法： 1. 对微分方程两边取拉普拉斯变换 2. 利用微分性质，把微分方程变成代数方程 3. 求解代数方程，得到 $F(s)$ 4. 对 $F(s)$ 取拉普拉斯逆变换，得到 $f(t)$ **例子**：求解 $y'' + 3y' + 2y = 0$，$y(0) = 1$，$y'(0) = 0$ - 取拉普拉斯变换：$s^2 Y(s) - sy(0) - y'(0) + 3[sY(s) - y(0)] + 2Y(s) = 0$ - 代入初始条件：$s^2 Y(s) - s + 3sY(s) - 3 + 2Y(s) = 0$ - 整理：$(s^2 + 3s + 2)Y(s) = s + 3$ - 解出：$Y(s) = \frac{s + 3}{s^2 + 3s + 2} = \frac{s + 3}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{2}{s + 1} - \frac{1}{s + 2}$ - 取逆变换：$y(t) = 2e^{-t} - e^{-2t}$ ### 控制系统 - 🏗️ **系统分析**：分析控制系统的稳定性 - ⚙️ **传递函数**：计算系统的传递函数 - 📊 **响应分析**：分析系统的响应 ### 电路分析 - ⚡ **电路方程**：求解电路方程 - 🔌 **瞬态分析**：分析电路的瞬态响应 ## 部分分式分解 ### 方法 对于有理函数 $\frac{P(s)}{Q(s)}$，如果 $Q(s)$ 可以分解为： $$Q(s) = (s - s_1)^{m_1} (s - s_2)^{m_2} \cdots (s - s_n)^{m_n}$$ 则可以分解为部分分式： $$\frac{P(s)}{Q(s)} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m_i} \frac{A_{ij}}{(s - s_i)^j}$$ ### 例子 **例子**：$\frac{s + 3}{(s + 1)(s + 2)}$ $$\frac{s + 3}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{s + 2}$$ - 通分：$s + 3 = A(s + 2) + B(s + 1)$ - 比较系数：$A + B = 1$，$2A + B = 3$ - 解得：$A = 2$，$B = -1$ - 所以：$\frac{s + 3}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{2}{s + 1} - \frac{1}{s + 2}$ ## 生活中的应用 ### 工程 - 🏗️ **结构分析**：分析结构的振动 - ⚙️ **机械系统**：分析机械系统的响应 ### 物理 - ⚡ **电路分析**：分析电路的响应 - 🔬 **振动分析**：分析振动系统 ### 科学 - 🔬 **系统建模**：建立系统的数学模型 - 📊 **数据分析**：分析实验数据 ## 常见错误 ### 错误 1：收敛域忽略 要注意拉普拉斯变换的收敛域。 ### 错误 2：初始条件使用错误 使用微分性质时，要正确使用初始条件。 ### 错误 3：逆变换计算错误 要正确计算拉普拉斯逆变换，可以使用部分分式分解。 ## 小练习 1. 求 $f(t) = e^{2t}$ 的拉普拉斯变换 2. 求 $f(t) = t^2$ 的拉普拉斯变换 3. 利用微分性质，求 $f'(t)$ 的拉普拉斯变换（已知 $f(0) = 1$） 4. 应用题：用拉普拉斯变换求解微分方程 $y' + 2y = e^{-t}$，$y(0) = 0$ --- > 💡 **小贴士**：拉普拉斯变换是将函数从时域转换到复频域的积分变换。记住：时域微分对应复频域乘法，时域卷积对应复频域乘积。掌握拉普拉斯变换，你就能简化微分方程的求解！