无理方程
无理方程是根号下含有未知数的方程。解无理方程的关键是"去根号"，同样需要特别注意检验！
什么是无理方程？
无理方程是根号下含有未知数的方程。
例子：
√(x + 1) = 3
√(x - 2) + √(x + 3) = 5
√(2x + 1) = x - 1
解无理方程的方法
基本步骤
- 移项（把根号单独放在一边）
- 两边平方（去根号）
- 解整式方程
- 检验（⚠️ 非常重要！把解代入原方程验证）
例子 1：简单无理方程
√(x + 1) = 3
步骤：
- 根号已经在一边，直接两边平方：
[√(x + 1)]² = 3²
x + 1 = 9 - 求解：x = 8
- 检验：
- 左边：√(8 + 1) = √9 = 3
- 右边：3
- 左边 = 右边 ✓
- 且根号下 8 + 1 = 9 ≥ 0 ✓
- 所以 x = 8 是方程的解
例子 2：需要移项
√(x - 2) = x - 4
步骤：
- 根号已经在一边，两边平方：
[√(x - 2)]² = (x - 4)²
x - 2 = x² - 8x + 16 - 移项：x² - 8x + 16 - x + 2 = 0
- 化简：x² - 9x + 18 = 0
- 因式分解：(x - 3)(x - 6) = 0
- 所以 x = 3 或 x = 6
- 检验：
- 当 x = 3 时：
- 左边：√(3 - 2) = √1 = 1
- 右边：3 - 4 = -1
- 左边 ≠ 右边 ✗
- 所以 x = 3 是增根，舍去
- 当 x = 6 时：
- 左边：√(6 - 2) = √4 = 2
- 右边：6 - 4 = 2
- 左边 = 右边 ✓
- 且根号下 6 - 2 = 4 ≥ 0 ✓
- 当 x = 3 时：
- 所以 x = 6 是方程的解
例子 3：两个根号
√(x + 1) + √(x - 2) = 5
步骤：
- 移项：√(x + 1) = 5 - √(x - 2)
- 两边平方：
[√(x + 1)]² = [5 - √(x - 2)]²
x + 1 = 25 - 10√(x - 2) + (x - 2) - 化简：x + 1 = 23 - 10√(x - 2) + x
- 移项：10√(x - 2) = 22
- 化简：√(x - 2) = 2.2
- 再次平方：x - 2 = 4.84
- 求解：x = 6.84
- 检验：
- 左边：√(6.84 + 1) + √(6.84 - 2) = √7.84 + √4.84 ≈ 2.8 + 2.2 = 5
- 右边：5
- 左边 ≈ 右边 ✓
- 所以 x = 6.84 是方程的解
增根问题
为什么会产生增根？
两边平方时，我们可能引入使原方程不成立的解。
例子：
√(x - 2) = -3
- 左边：√(x - 2) ≥ 0（根号值非负）
- 右边：-3 < 0
- 所以原方程无解
但如果两边平方：
x - 2 = 9
x = 11
- x = 11 是平方后得到的，但代入原方程：
- √(11 - 2) = √9 = 3 ≠ -3
- 所以 x = 11 是增根
如何避免增根？
- 检验：把解代入原方程验证
- 检查根号下的值：确保根号下的表达式 ≥ 0
- 检查根号的值：如果原方程是 √A = B，要确保 B ≥ 0
检验的重要性
检验步骤：
- 把解代入原方程的根号下
- 检查根号下的值是否 ≥ 0
- 计算根号的值，代入原方程验证等式是否成立
- 如果等式不成立，这个解是增根，要舍去
特殊情况的处理
情况 1：根号下为负数
如果解使根号下的值为负数，这个解是增根。
情况 2：根号值为负数
如果原方程是 √A = B，且 B < 0，则方程无解（因为根号值 ≥ 0）。
情况 3：多个根号
需要多次平方，每次平方后都要检验。
生活中的应用
距离问题
- 📏 根据勾股定理，两点间距离涉及平方根
- 可以建立无理方程求解
物理问题
- ⚽ 自由落体、抛体运动等涉及根号
- 可以建立无理方程求解
常见错误
错误 1：忘记检验
解无理方程必须检验，否则可能得到增根！
错误 2：平方时展开错误
平方时要仔细展开，特别是 (a - b)² = a² - 2ab + b²。
错误 3：忽略根号值的非负性
根号的值总是 ≥ 0，这是判断增根的重要依据。
小练习
- 解方程：√(x + 5) = 4
- 解方程：√(x - 1) = x - 3
- 解方程：√(2x + 1) = 3
- 检验：x = 1 是方程 √(x - 2) = -1 的解吗？为什么？
💡 小贴士：解无理方程的关键是"去根号"（两边平方），但一定要检验！增根是无理方程特有的问题，检验可以帮你识别并排除增根。记住：根号的值总是 ≥ 0！
