反三角函数

反三角函数是三角函数的反函数！理解反三角函数，能帮助我们解决"已知函数值求角度"的问题。

什么是反三角函数？

反三角函数（Inverse Trigonometric Functions）是三角函数的反函数，用于根据三角函数值求角度。

简单来说，反三角函数就像"反过来"：

• 三角函数：已知角度，求函数值
• 反三角函数：已知函数值，求角度

反三角函数通常用 $\arcsin$、$\arccos$、$\arctan$ 等表示，也可以用 $\sin^{-1}$、$\cos^{-1}$、$\tan^{-1}$ 表示。

注意：$\sin^{-1}x$ 表示反三角函数，不是 $\frac{1}{\sin x}$。

反正弦函数（Arcsine）

定义

反正弦函数（Arcsine Function）记作 $\arcsin x$ 或 $\sin^{-1}x$，定义为：

$$y = \arcsin x \Leftrightarrow x = \sin y$$

其中 $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，$x \in [-1, 1]$。

性质

• 定义域：$[-1, 1]$
• 值域：$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
• 单调性：单调递增
• 奇函数：$\arcsin(-x) = -\arcsin x$

例子

例子 1：$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$（或 $30°$）

因为 $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$。

例子 2：$\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$（或 $45°$）

因为 $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

反余弦函数（Arccosine）

定义

反余弦函数（Arccosine Function）记作 $\arccos x$ 或 $\cos^{-1}x$，定义为：

$$y = \arccos x \Leftrightarrow x = \cos y$$

其中 $y \in [0, \pi]$，$x \in [-1, 1]$。

性质

• 定义域：$[-1, 1]$
• 值域：$[0, \pi]$
• 单调性：单调递减

例子

例子 1：$\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$（或 $60°$）

因为 $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$。

例子 2：$\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$（或 $45°$）

因为 $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

反正切函数（Arctangent）

定义

反正切函数（Arctangent Function）记作 $\arctan x$ 或 $\tan^{-1}x$，定义为：

$$y = \arctan x \Leftrightarrow x = \tan y$$

其中 $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，$x \in (-\infty, +\infty)$。

性质

• 定义域：所有实数
• 值域：$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
• 单调性：单调递增
• 奇函数：$\arctan(-x) = -\arctan x$

例子

例子 1：$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$（或 $45°$）

因为 $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$。

例子 2：$\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$（或 $30°$）

因为 $\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$。

反余切函数（Arccotangent）

定义

反余切函数（Arccotangent Function）记作 $\text{arccot } x$ 或 $\cot^{-1}x$，定义为：

$$y = \text{arccot } x \Leftrightarrow x = \cot y$$

其中 $y \in (0, \pi)$，$x \in (-\infty, +\infty)$。

性质

• 定义域：所有实数
• 值域：$(0, \pi)$
• 单调性：单调递减

反三角函数的关系

互补关系

$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$$ $$\arctan x + \text{arccot } x = \frac{\pi}{2}$$

负值关系

$$\arcsin(-x) = -\arcsin x$$ $$\arccos(-x) = \pi - \arccos x$$ $$\arctan(-x) = -\arctan x$$

应用

解方程

使用反三角函数可以解三角函数方程。

例子：解方程 $\sin x = \frac{1}{2}$

$x = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$

但要注意，$\sin x = \frac{1}{2}$ 有多个解，一般解为：

$x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{或} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$

其中 $k$ 是整数。

计算角度

使用反三角函数可以根据边长计算角度。

例子：在直角三角形中，如果对边是 3，斜边是 5，求角度 $\theta$。

$\sin\theta = \frac{3}{5}$

$\theta = \arcsin\left(\frac{3}{5}\right) \approx 36.87°$

常见错误

错误 1：符号混淆

$\sin^{-1}x$ 表示反三角函数，不是 $\frac{1}{\sin x}$。

错误 2：值域错误

要注意反三角函数的值域，不是所有角度都对应。

错误 3：多值性忽略

三角函数是多值函数，反三角函数只取主值，要注意其他解。

小练习

1. 求 $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
2. 求 $\arccos\left(\frac{1}{2}\right)$
3. 求 $\arctan(\sqrt{3})$
4. 应用题：在直角三角形中，如果对边是 4，邻边是 3，求角度 $\theta$（用反正切函数）

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💡 小贴士：反三角函数是三角函数的反函数。记住：$\sin^{-1}x$ 表示反三角函数，不是 $\frac{1}{\sin x}$。掌握反三角函数，你就能解决"已知函数值求角度"的问题！