反比例函数
反比例函数描述了两个量成反比的关系， 它的图像是双曲线，在生活中也很常见！
什么是反比例函数？
反比例函数是形如 y = k/x（k ≠ 0）的函数。
其中：
- k：比例常数（不能为 0）
- x：自变量（x ≠ 0）
- y：因变量
特点：
- x 和 y 的乘积是常数：xy = k
- 当 x 增大时，y 减小；当 x 减小时，y 增大
反比例函数的图像
图像特征
反比例函数的图像是双曲线，由两支曲线组成。
图像的位置
- k > 0：图像在第一、三象限
- k < 0：图像在第二、四象限
渐近线
- x 轴（y = 0）是水平渐近线
- y 轴（x = 0）是垂直渐近线
图像无限接近但永远不 接触这两条轴。
如何画反比例函数的图像？
方法：描点法
- 列出一些 x 和对应的 y 值
- 在坐标系中标出这些点
- 用平滑曲线连接这些点
- 注意图像关于原点对称
例子
y = 4/x
| x | y = 4/x |
|---|---|
| -4 | -1 |
| -2 | -2 |
| -1 | -4 |
| 1 | 4 |
| 2 | 2 |
| 4 | 1 |
画出这些点，用平滑曲线连接，得到双曲线。
反比例函数的性质
定义域和值域
- 定义域：x ≠ 0，即 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)
- 值域：y ≠ 0，即 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)
单调性
- k > 0：
- 在 (-∞, 0) 上：单调递减
- 在 (0, +∞) 上：单调递减
- k < 0：
- 在 (-∞, 0) 上：单调递增
- 在 (0, +∞) 上：单调递增
注意：不能说在整个定义域上单调，因为函数在 x = 0 处不连续。
奇偶性
反比例函数是奇函数：
f(-x) = k/(-x) = -k/x = -f(x)
所以图像关于原点对称。
对称性
- 关于原点对称（奇函数）
- 关于直线 y = x 和 y = -x 对称
生活中的应用
速度和时间
- 🚗 路程固定为 s，速度 v 和时间 t 的关系
- s = vt，所以 t = s/v
- 这是反比例函数：t = k/v（k = s）
- 速度越快，时间越短
工作量和人数
- 👷 工作量固定，人数 n 和工作时间 t 的关系
- 工作量 = n × t（假设每人效率相同）
- 如果工作量固定，t = 工作量/n
- 这是反比例函数：人数越多，时间越短
电阻和电流
- ⚡ 电压 U 固定，电阻 R 和电流 I 的关系（欧姆定律）
- U = IR，所以 I = U/R
- 这是反比例函数：I = k/R（k = U）
- 电阻越大，电流越小
面积和边长
- 📐 矩形面积固定为 S，长 a 和宽 b 的关系
- S = ab，所以 b = S/a
- 这是反比例函数：b = k/a（k = S）
- 长越长，宽越短
反比例函数 vs 正比例函数
反比例函数与正比例函数的对比如下表所示。
| 特征 | 正比例函数 | 反比例函数 |
|---|---|---|
| 表达式 | y = kx | y = k/x |
| 图像 | 直线（经过原点） | 双曲线 |
| 关系 | x 增大，y 增大 | x 增大，y 减小 |
| 定义域 | 所有实数 | x ≠ 0 |
常见错误
错误 1：忘记 x ≠ 0
反比例函数中，x 不能为 0（分母不能为 0）。
错误 2：说在整个定义域上单调
反比例函数在 (-∞, 0) 和 (0, +∞) 上分别单调，但不能说在整个定义域上单调。
错误 3：图像画错位置
- k > 0：第一、三象限
- k < 0：第二、四象限
小练习
- 画出函数 y = 2/x 的图像
- 判断函数 y = -3/x 的单调性
- 如果 y 与 x 成反比，且当 x = 2 时 y = 5，求函数表达式
- 应用题：完成一项工作需要 10 人工作 8 天，如果人数增加到 20 人，需要多少天？
💡 小贴士：反比例函数描述"此消彼长"的关系——一个量增大，另一个量减小。图像是双曲线，记住 k 的符号决定图像在哪个象限！