逆矩阵

逆矩阵是矩阵的重要概念！理解逆矩阵，能帮助我们求解线性方程组和进行矩阵运算。

什么是逆矩阵？

逆矩阵（Inverse Matrix）是方阵 $A$ 的逆，记作 $A^{-1}$，满足：

$$AA^{-1} = A^{-1}A = I$$

其中 $I$ 是单位矩阵。

简单理解

逆矩阵就像"矩阵的倒数"：

• 矩阵 $A$ 和它的逆矩阵 $A^{-1}$ 相乘等于单位矩阵
• 只有方阵才可能有逆矩阵
• 不是所有方阵都有逆矩阵

矩阵可逆的条件

充要条件

矩阵 $A$ 可逆当且仅当：

• $\det(A) \neq 0$（行列式不为 0）
• $A$ 的秩等于它的阶数
• $A$ 的行（列）向量线性无关

不可逆矩阵

如果 $\det(A) = 0$，则 $A$ 不可逆，称为奇异矩阵（Singular Matrix）。

逆矩阵的计算

方法 1：伴随矩阵法

如果 $A$ 可逆，则：

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$$

其中 $\text{adj}(A)$ 是 $A$ 的伴随矩阵。

方法 2：初等行变换法

将 $[A | I]$ 通过初等行变换化为 $[I | A^{-1}]$。

二阶矩阵的逆

对于 $2 \times 2$ 矩阵：

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

如果 $\det(A) = ad - bc \neq 0$，则：

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

例子

例子：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$ $$\det(A) = 1 \times 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2 \neq 0$$ $$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$$

验证：

$$AA^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$$

逆矩阵的性质

性质 1：唯一性

如果 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 是唯一的。

性质 2：逆的逆

$$(A^{-1})^{-1} = A$$

性质 3：转置

$$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$$

性质 4：乘积

$$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$$

注意：顺序相反！

性质 5：数乘

$$(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$$

其中 $k \neq 0$。

性质 6：幂

$$(A^k)^{-1} = (A^{-1})^k$$

逆矩阵的应用

求解线性方程组

如果线性方程组 $Ax = b$，且 $A$ 可逆，则：

$$x = A^{-1}b$$

矩阵方程

如果 $AX = B$，且 $A$ 可逆，则：

$$X = A^{-1}B$$

如果 $XA = B$，且 $A$ 可逆，则：

$$X = BA^{-1}$$

生活中的应用

计算机图形学

• 💻 图形变换：用逆矩阵进行逆变换
• 🎮 游戏开发：用逆矩阵进行游戏开发

工程

• ⚙️ 系统分析：用逆矩阵分析系统
• 🏗️ 结构分析：用逆矩阵分析结构

数据科学

• 📊 数据处理：用逆矩阵处理数据
• 🤖 机器学习：用逆矩阵进行机器学习

常见错误

错误 1：非方阵求逆

只有方阵才可能有逆矩阵。

错误 2：奇异矩阵求逆

如果 $\det(A) = 0$，则 $A$ 不可逆。

错误 3：乘积的逆

$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$，不是 $A^{-1}B^{-1}$。

小练习

1. 判断矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ 是否可逆
2. 如果 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$，求 $A^{-1}$
3. 如果 $A$ 和 $B$ 都可逆，求 $(AB)^{-1}$
4. 应用题：用逆矩阵求解线性方程组 $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 11 \end{cases}$

---

💡 小贴士：逆矩阵是矩阵的重要概念。记住：矩阵可逆当且仅当 $\det(A) \neq 0$，$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。掌握逆矩阵，你就能求解线性方程组！