独立性

独立性是概率论的重要概念！理解事件的独立性，能帮助我们简化概率计算。

什么是独立性？

独立性（Independence）是两个或多个事件之间没有相互影响的关系。

简单理解

独立性就像"互不影响"：

• 事件 $A$ 的发生不影响事件 $B$ 发生的概率
• 事件 $B$ 的发生不影响事件 $A$ 发生的概率

定义

如果事件 $A$ 和 $B$ 满足：

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

则 $A$ 和 $B$ 是独立的（Independent）。

等价定义

如果 $P(B) > 0$，则 $A$ 和 $B$ 独立当且仅当：

$P(A|B) = P(A)$

理解：在 $B$ 发生的条件下，$A$ 发生的概率等于 $A$ 无条件发生的概率，说明 $B$ 不影响 $A$。

独立性的判断

方法 1：定义判断

检查是否满足 $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$。

例子：抛两枚硬币

• 事件 $A$：第一枚是正面，$P(A) = \frac{1}{2}$
• 事件 $B$：第二枚是正面，$P(B) = \frac{1}{2}$
• $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$（两枚都是正面）
• $P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
• 因为 $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$，所以 $A$ 和 $B$ 独立

方法 2：条件概率判断

检查是否满足 $P(A|B) = P(A)$。

例子：从 52 张扑克牌中抽取两张（有放回）

• 事件 $A$：第一张是红心，$P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$
• 事件 $B$：第二张是红心，$P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$
• $P(A|B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$（因为有放回，第一张不影响第二张）
• 因为 $P(A|B) = P(A)$，所以 $A$ 和 $B$ 独立

独立性的性质

性质 1：对称性

如果 $A$ 和 $B$ 独立，则 $B$ 和 $A$ 也独立。

性质 2：对立事件

如果 $A$ 和 $B$ 独立，则：

• $A$ 和 $\bar{B}$ 独立
• $\bar{A}$ 和 $B$ 独立
• $\bar{A}$ 和 $\bar{B}$ 独立

性质 3：多个事件的独立性

$n$ 个事件 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 相互独立，如果对于任意 $k$ 个事件（$2 \le k \le n$），都有：

$P(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_k}) = P(A_{i_1}) \times P(A_{i_2}) \times \cdots \times P(A_{i_k})$

独立事件的概率计算

乘法公式

如果 $A$ 和 $B$ 独立，则：

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

多个独立事件

如果 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 相互独立，则：

$P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1) \times P(A_2) \times \cdots \times P(A_n)$

至少一个发生

如果 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 相互独立，则至少一个发生的概率：

$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = 1 - P(\bar{A}_1) \times P(\bar{A}_2) \times \cdots \times P(\bar{A}_n)$

推导：

• 至少一个发生 = 不是都不发生
• $P(\text{都不发生}) = P(\bar{A}_1 \cap \bar{A}_2 \cap \cdots \cap \bar{A}_n) = P(\bar{A}_1) \times P(\bar{A}_2) \times \cdots \times P(\bar{A}_n)$
• 所以 $P(\text{至少一个发生}) = 1 - P(\text{都不发生})$

独立性和互不相容

区别

• 独立性：$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$（可以同时发生）
• 互不相容：$A \cap B = \emptyset$（不能同时发生）

关系

如果 $A$ 和 $B$ 互不相容，且 $P(A) > 0$，$P(B) > 0$，则 $A$ 和 $B$ 不独立。

证明：

• 如果 $A \cap B = \emptyset$，则 $P(A \cap B) = 0$
• 如果 $A$ 和 $B$ 独立，则 $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) > 0$
• 矛盾，所以 $A$ 和 $B$ 不独立

生活中的应用

游戏

• 🎲 游戏设计：设计独立事件的游戏机制
• 🎰 博彩：分析独立事件的中奖概率

工程

• ⚙️ 系统可靠性：分析系统组件的独立性
• 🏗️ 质量控制：分析质量检测的独立性

科学

• 🔬 实验设计：设计独立实验
• 📊 数据分析：分析数据的独立性

常见错误

错误 1：独立性和互不相容混淆

• 独立性：可以同时发生，$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
• 互不相容：不能同时发生，$A \cap B = \emptyset$

错误 2：多个事件的独立性

多个事件相互独立要求任意子集都满足独立性，不仅仅是两两独立。

错误 3：条件概率和独立性

如果 $P(A|B) = P(A)$，则 $A$ 和 $B$ 独立，但要注意 $P(B) > 0$。

小练习

1. 抛两枚硬币，事件 $A$：第一枚是正面，事件 $B$：第二枚是正面，判断 $A$ 和 $B$ 是否独立
2. 如果 $P(A) = 0.4$，$P(B) = 0.5$，且 $A$ 和 $B$ 独立，求 $P(A \cap B)$
3. 如果 $A$ 和 $B$ 独立，且 $P(A) = 0.3$，$P(B) = 0.6$，求 $P(A \cup B)$
4. 应用题：三个独立的系统，每个系统的可靠性是 $90\%$，求至少一个系统正常工作的概率

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💡 小贴士：独立性是事件之间没有相互影响的关系。记住：如果 $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$，则 $A$ 和 $B$ 独立。独立性和互不相容是不同的概念！